Ecuaţia de gradul al doilea

Ecuaţia de forma \displaystyle x^{2}=a unde \displaystyle a\in \mathbb{Q}_{+}

Ecuaţia de forma \displaystyle x^{2}=a are două soluţii: \displaystyle x=\pm \sqrt{a} , deci \displaystyle S=\left \{ -\sqrt{a},\, \sqrt{a} \right \} .

 

Ecuaţia de forma \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 , cu \displaystyle a,b,c\in \mathbb{R},\, a\neq 0

Natura soluţiilor ecuaţiei depinde de discriminantul acesteia:

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac

1° Dacă \displaystyle \Delta >0 , ecuaţia are două soluţii reale distincte, care se determină cu formulele:

\displaystyle x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}

\displaystyle x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}

2° Dacă \displaystyle \Delta =0 , ecuaţia are două soluţii reale egale între ele:

\displaystyle x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}

3° Dacă \displaystyle \Delta <0 , ecuaţia nu are soluţii reale.

 

Factorizarea expresiei pătratice

Expresia de forma \displaystyle E\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c se poate factoriza numai dacă \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\geq 0 .

Etape:

1. Se determină soluţiile \displaystyle x_{1} şi x_{2} ale ecuaţiei \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 .

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

2. Descompunerea în factori a expresiei pătratice va fi:

\displaystyle E\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )


Aplicaţii:

1. Descompuneţi în factori expresia \displaystyle E\left ( x \right )=9x^{2}-4x-5 .

Rezolvare

Se obţin soluţiile ecuaţiei \displaystyle 9x^{2}-4x-5=0 .

Coeficienţii ecuaţiei sunt:

\displaystyle a=9 \displaystyle b=-4 \displaystyle c=-5

Se calculează discriminantul:

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=16-4\cdot 9\cdot \left ( -5 \right )=196

\displaystyle \sqrt{\Delta }=14

Soluţiile ecuaţiei sunt:

\displaystyle x_{1}=\frac{4+14}{18}=1

\displaystyle x_{2}=\frac{4-14}{18}=-\frac{5}{9}

Descompunerea în factori a expresiei va fi:

\displaystyle E\left ( x \right )=9\left ( x-1 \right )\left ( x+\frac{5}{9} \right )

Introducând factorul \displaystyle 9 în cea de-a doua paranteză, se obţine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x-1 \right )\left ( 9x+5.\right)