Ecuaţia de gradul I cu două necunoscute

Ecuaţia de forma

\displaystyle ax+by+c=0 cu \displaystyle a,b\in \mathbb{R}^{*},\: c\in \mathbb{R}

se numeşte ecuaţie de gradul I cu două necunoscute.

\displaystyle a , \displaystyle b  şi \displaystyle c  se numesc coeficienţii ecuaţiei.

Pentru orice \displaystyle x\in \mathbb{R} , se poate obţine \displaystyle y=\frac{-ax-c}{b} .

Prin urmare, ecuaţia are o infinitate de soluţii. Mulţimea soluţiilor este:

\displaystyle S=\left \{ \left ( x,y \right )\, |\, x\in \mathbb{R},\: y=\frac{-ax-c}{b} \right \}

Considerând perechile \displaystyle \left ( x,y \right ) ca fiind coordonatele unor puncte, mulţimea soluţiilor se poate reprezenta grafic într-un sistem cartezian. Reprezentarea grafică este o dreaptă, numită dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle ax+by+c=0 .

Pentru a reprezenta grafic dreapta soluţiilor, sunt suficiente două puncte, care se pot afla alegând două valori convenabile pentru variabila \displaystyle x şi calculând valorile \displaystyle y corespunzătoare.

Rezultatele se pot pune într-un tabel:

Dreapta soluţiilor este dreapta care trece prin punctele \displaystyle A şi \displaystyle B .


Aplicaţii
1. Reprezentaţi dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle 3x-2y=1.

Rezolvare:

Din expresia ecuaţiei se obţine formula de calcul a necunoscutei \displaystyle y :

\displaystyle 3x-1=2y\: \Rightarrow \: y=\frac{3x-1}{2}

Deoarece pentru reprezentarea unei drepte sunt suficiente două puncte, se aleg două valori convenabile pentru \displaystyle x şi se calculează valorile corespunzătoare ale lui \displaystyle y .

\displaystyle x \displaystyle -1 \displaystyle 1
\displaystyle y=\frac{3x-1}{2} \displaystyle -2 \displaystyle 1
Punctul: \displaystyle A\left ( -1,-2 \right ) \displaystyle B\left ( 1,1 \right )

Dreapta soluţiilor ecuaţiei \displaystyle 3x-2y=1 trece prin punctele \displaystyle A\left ( -1,-2 \right ) şi \displaystyle B\left ( 1,1 \right ).