Sisteme liniare de două ecuaţii cu două necunoscute

Atunci când este necesar să se afle perechea de numere \displaystyle \left ( x,\, y \right ) care verifică, în acelaşi timp, două ecuaţii diferite de gradul întâi cu două necunoscute, se spune că trebuie rezolvat sistemul

\displaystyle \left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{matrix}\right.

\displaystyle x şi \displaystyle y se numesc necunoscutele sistemului, iar \displaystyle a_{1},\: b_{1},\: c_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: c_{2} se numesc coeficienţii sistemului.

Interpretare geometrică

Mulţimile soluţiilor celor două ecuaţii care formează sistemul pot fi reprezentate grafic într-un sistem ortogonal \displaystyle xOy prin două drepte.

Rezolvarea sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute presupune determinarea punctelor comune ale celor două drepte.

Considerând ecuaţiile celor două drepte, \displaystyle a_{1}x+b_{1}y-c_{1}=0 , respectiv \displaystyle a_{2}x+b_{2}y-c_{2}=0 , pot fi întâlnite trei situaţii, în funcţie de valorile coeficienţilor \displaystyle a_{1},\: b_{1},\: c_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: c_{2} .

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}} , dreptele sunt concurente. Sistemul are o soluţie unică şi spunem că este compatibil determinat.

 

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}} , dreptele sunt confundate. Sistemul are o infinitate de soluţii şi spunem că este compatibil nedeterminat.

 

  • Dacă \displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}} , dreptele sunt paralele. Sistemul nu are soluţii şi spunem că este incompatibil.

 

Metode de rezolvare

Metoda substituţiei („substituţie” = „înlocuire”) se recomandă atunci când, într-una dintre ecuaţii, una dintre necunoscute are coeficientul \displaystyle \pm 1 . În acest caz, se extrage necunoscuta din ecuaţia respectivă şi se înlocuieşte în cealaltă ecuaţie.

Metoda reducerii. Se prelucrează sistemul astfel încât una dintre necunoscute să aibă, în cele două ecuaţii, coeficienţi opuşi. Apoi se adună ecuaţiile membru cu membru.

Metoda grafică. Se reprezintă grafic dreptele soluţiilor celor două ecuaţii şi, tot grafic, se determină coordonatele punctului de intersecţie al celor două drepte.


Aplicaţii

1. Să se rezolve sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=5\\ -2x+y=-4 \end{matrix}\right.

Rezolvare

Se poate aplica metoda substituţiei. Extragem necunoscuta y din prima ecuaţie:

\displaystyle y=5-x

şi o înlocuim în cea de-a doua ecuaţie:

\displaystyle -2x+\left ( 5-x \right )=-4

care devine astfel o ecuaţie de gradul I cu o singură necunoscută.

Se rezolvă ecuaţia şi se obţine valoarea lui \displaystyle x :

\displaystyle -2x+\left ( 5-x \right )=-4

\displaystyle -2x+5-x=-4

\displaystyle -3x+5=-4

\displaystyle 3x=9

\displaystyle x=3

Apoi se revine, pentru a calcula valoarea lui \displaystyle y:

\displaystyle y=5-3

\displaystyle y=2

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )=\left ( 3,2 \right )

2. Să se rezolve sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+y=-2\\ -5x-3y=2 \end{matrix}\right.

Rezolvare

Înmulţim prima ecuaţie cu \displaystyle 3 , apoi adunăm ecuaţiile membru cu membru:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \; \; \; 3x+y=-2\, |\, \cdot 3\\ -5x-3y=2 \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \; 9x+3y=-6\, \\ -5x-3y=2 \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

\displaystyle \overline{\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\;\;\;\; \; \; \; \;\;\;\; \; }\left ( + \right )

\displaystyle 4x=-4

\displaystyle x=-1

Substituim valoarea lui \displaystyle x în prima ecuaţie şi aflăm valoarea lui \displaystyle y :

\displaystyle 3\cdot \left ( -1 \right )+y=-2

\displaystyle y=1

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )=\left ( -1,1 \right )

3. Rezolvaţi sistemul:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-3y=16\\ 3x-y=12 \end{matrix}\right.

prin metoda grafică.

Rezolvare

Se reprezintă grafic dreptele soluţiilor celor două ecuaţii, găsind câte două puncte pentru fiecare:

\displaystyle x-3y=16\, \Rightarrow \, y=\frac{x-16}{3}\, \Rightarrow \, \left\{\begin{matrix} A\left ( 1,-5 \right )\\ B\left ( 4,-4 \right ) \end{matrix}\right.

\displaystyle 3x-y=12\, \Rightarrow \, y=3x-12 \Rightarrow \, \left\{\begin{matrix} C\left ( 3,-3 \right )\\ D\left ( 4,\, 0 \right ) \end{matrix}\right.

Măsurând pe grafic, se găsesc coordonatele punctului de intersecţie al celor două drepte: \displaystyle P \left ( \frac{5}{2},-\frac{9}{2} \right ) .

Soluţia sistemului este perechea

\displaystyle \left ( x,y \right )= \left ( \frac{5}{2},-\frac{9}{2} \right )