Câteva tipuri de probleme referitoare la funcţia liniară

Problema 1: Determinarea funcţiei din condiţia ca un punct să aparţină graficului acesteia

Fie funcţia

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=2x+a

Să se determine numărul a , ştiind că punctul A\left ( a,\, 12 \right ) aparţine graficului funcţiei.


Condiţia ca punctul A\left ( a,\, 12 \right ) să aparţină graficului funcţiei este ca f\left ( a \right )=12.

Scriem:

A\left ( a,\, 12 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( a \right )=12

f\left ( a \right )=2\cdot a+a=3a

3a=12

a=4

Înlocuind valoarea lui a în expresia funcţiei, se obţine f\left ( x \right )=2x+4.

Problema 2: Determinarea funcţiei din condiţia ca graficul acesteia să treacă prin două puncte date

Să se determine funcţia liniară a cărei reprezentare grafică este dreapta AB, cu A\left ( -3,\, -1 \right ) şi B\left ( 4,\, 6 \right ).


Funcţia liniară are expresia matematică

f\left ( x \right )=ax+b

Pentru a determina funcţia trebuie să aflăm valorile coeficienţilor a şi b .

Punctele A şi B aparţin graficului funcţiei, prin urmare pot fi puse condiţiile:

A\left ( -3,\, -1 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( -3 \right )=-1

f\left ( -3 \right )=a\cdot \left ( -3 \right )+b=-3a+b

\Rightarrow \: -3a+b=-1

B\left ( 4,\, 6 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( 4 \right )=6

f\left ( 4 \right )=a\cdot 4+b=4a+b

\Rightarrow \: 4a+b=6

Am obţinut două ecuaţii cu necunoscutele a şi b .

Pentru a determina valorile necunoscutelor, rezolvăm sistemul:

\left\{\begin{matrix} -3a+b=-1\\ 4a+b=6 \end{matrix}\right.

Extragem necunoscuta b din prima relaţie şi o substituim în cea de-a doua (metoda substituţiei):

b=3a-1

4a+3a-1=6

7a=7

a=1

Prin urmare,

b=3\cdot 1-1

b=2

Funcţia liniară al cărei grafic trece prin punctele A\left ( -3,\, -1 \right ) şi B\left ( 4,\, 6 \right ) are expresia:

f\left ( x \right )=x+2

Problema 3: Punctul de intersecţie al reprezentărilor grafice a două funcţii

Se dau funcţiile

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=x+4

şi

g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; g\left ( x \right )= f\left ( 3x-2 \right )

Să se determine funcţia g şi să se afle coordonatele punctului de intersecţie al graficelor celor două funcţii.


Pentru a determina funcţia g , înlocuim, în expresia funcţiei f , argumentul x cu expresia 3x-2.

g\left ( x \right )=f\left ( 3x-2 \right )=\left ( 3x-2 \right )+4

g\left ( x \right )=3x+2

Notăm P\left ( x,\, y \right ) punctul de intersecţie al graficelor celor două funcţii.

G_{f}\cap G_{g}=P\left ( x,\, y \right )

Deoarece punctul P\left ( x,\, y \right ) este situat pe ambele grafice, coordonatele sale verifică expresiile ambelor funcţii.

Vom rezolva sistemul:

\left\{\begin{matrix} f\left ( x \right )=y\\ g\left ( x \right )=y \end{matrix}\right.\: \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+4=y\\ 3x+2=y \end{matrix}\right.

Din

x+4=3x+2

obţinem

2x=2

x=1

y=1+4

y=5

Punctul de intersecţie al graficelor celor două funcţii este punctul P\left ( 1,\, 5 \right ).

Problema 4: Stabilirea coliniarităţii a trei puncte date

Verificaţi dacă punctele M\left ( -\sqrt{2},\, 0 \right ), N\left ( \sqrt{2},\, 4 \right ), respectiv P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right ) sunt coliniare.


Determinăm funcţia liniară

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=ax+b

al cărei grafic trece prin punctele M şi N .

M\left ( -\sqrt{2},\, 0 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( -\sqrt{2} \right )=0

f\left ( -\sqrt{2} \right )=a\cdot \left ( -\sqrt{2} \right )+b=-\sqrt{2}a+b

\Rightarrow \: -\sqrt{2}a+b=0

N\left ( \sqrt{2},\, 4 \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: f\left ( \sqrt{2} \right )=4

f\left ( \sqrt{2} \right )=a\cdot \sqrt{2}+b=\sqrt{2}a+b

\Rightarrow \: \sqrt{2}a+b=4

Rezolvăm sistemul:

\left\{\begin{matrix} -\sqrt{2}a+b=0\\ \sqrt{2}a+b=4 \end{matrix}\right.

Utilizând metoda reducerii, se obţine:

2b=4

b=2

Apoi determinăm şi valoarea lui a :

-\sqrt{2}a+2=0

a=\frac{-2}{-\sqrt{2}}

a=\sqrt{2}

Expresia matematică a funcţiei liniare care trece prin punctele M şi N este:

f\left ( x \right )=\sqrt{2}x+2

Pentru a verifica dacă punctul P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right ) este situat şi el pe graficul funcţiei f, calculăm f\left ( 2\sqrt{2} \right ):

f\left ( 2\sqrt{2} \right )=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}+2=6

Prin urmare,

P\left ( 2\sqrt{2},\, 6 \right )\in G_{f}

deci punctele M , N şi P sunt coliniare.