Corpuri de rotaţie

Cilindrul circular drept

Cilindrul circular drept este corpul obţinut prin rotirea unui dreptunghi în jurul unei laturi.

Latura care rămâne în poziţie fixă reprezintă axa cilindrului.

Notaţii:

  • raza cilindrului: \displaystyle OA=OB=R
  • generatoarea cilindrului \displaystyle AA'=G
  • înălţimea cilindrului \displaystyle OO'=h

 

Formulele cilindrului circular drept:

\displaystyle h=G

Secţiunea axială a cilindrului este dreptunghiul \displaystyle ABB'A' , având aria: \displaystyle \textsl{A}_{ABB'A'}=2RG

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=2\pi R

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=\pi R^{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=2\pi RG

Desfăşurarea ariei laterale a cilindrului circular drept este un dreptunghi.

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+2\cdot \textsl{A}_{b}

\displaystyle \textsl{A}_{t}=2\pi R\left ( G+R \right )

Volumul cilindrului:

\displaystyle \textsl{V}=\textsl{A}_{b}\cdot h

\displaystyle \textsl{V}=\pi R^{2}h

Conul circular drept

Conul circular drept se obţine prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete.

Cateta care rămâne în poziţie fixă reprezintă axa conului.

Notaţii:

  • raza conului: \displaystyle OA=OB=R
  • generatoarea conului \displaystyle VA=G
  • înălţimea conului \displaystyle VO=h

 

Formulele de calcul pentru conul circular drept:

\displaystyle G^{2}=R^{2}+h^{2}

Secţiunea axială a conului este triunghiul isoscel \displaystyle \triangle VAB , având aria \displaystyle \textsl{A}_{\triangle VAB}=R\cdot h .

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=2\pi R

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=\pi R^{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=\pi RG

Desfăşurarea ariei laterale a conului este un sector de cerc a cărui rază este egală cu generatoarea.

Măsura unghiului la centru corespunzător sectorului de cerc al desfăşurării conului se poate obţine din proporţia:

\displaystyle \frac{n^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{R}{G}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{b}

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\pi R\left ( G+R \right )

Volumul conului:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\pi R^{2} h}{3}

Trunchiul de con circular drept

Trunchiul de con circular drept se obţine prin secţionarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza.

Privit ca şi corp de rotaţie, trunchiul de con circular drept se obţine prin rotirea unui trapez dreptunghic în jurul laturii perpendiculare pe baze.

Latura menţinută în poziţie fixă reprezintă axa trunchiului de con.

Notaţii:

  • raza bazei mari: \displaystyle OA=OB=R
  • raza bazei mici: \displaystyle O'A'=O'B'=r
  • generatoarea trunchiului de con: \displaystyle AA'=G_{t}
  • înălţimea trunchiului de con: \displaystyle OO'=h_{t}

 

Formulele de calcul pentru trunchiul de con circular drept:

\displaystyle G_{t}^{2}=\left ( R-r \right )^{2}+h_{t}^{2}

Perimetrul bazei mari:

\displaystyle \textsl{P}_{B}=2\pi R

Perimetrul bazei mici:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=2\pi r

Aria bazei mari:

\displaystyle \textsl{A}_{B}=\pi R^{2}

Aria bazei mici:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=\pi r^{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=\pi G_{t}\left ( R+r \right )

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{B}+\textsl{A}_{b}

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\pi G_{t}\left ( R+r \right )+\pi R^{2}+\pi r^{2}

Volumul trunchiului de con:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{h_{t}}{3}\left ( \textsl{A}_{B}+\textsl{A}_{b}+\sqrt{\textsl{A}_{B}\cdot \textsl{A}_{b}} \right )

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\pi h_{t}}{3}\left ( R^{2}+r^{2}+Rr \right )

Sfera

Sfera se obţine prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului.

Se notează raza sferei \displaystyle OA=R

Aria sferei:

\displaystyle \textsl{A}_{sfera}=4\pi R^{2}

Volumul sferei:

\displaystyle \textsl{V}_{sfera}=\frac{4\pi R^{3}}{3}