Piramida

Piramida este corpul geometric alcătuit din feţe plane, care are toate vârfurile, cu excepţia unuia singur, situate în acelaşi plan, numit planul bazei.

Punctul care nu aparţine planului bazei se numeşte vârful piramidei.

Notaţia piramidei începe, întotdeauna, cu litera de la vârf.

Piramida se numeşte regulată dacă poligonul de la bază este un poligon regulat (cu toate muchiile egale între ele).

Tetraedrul regulat

Piramida triunghiulară se mai numeşte tetraedru („patru feţe”).

Tetraedrul regulat are şase muchii congruente şi patru feţe care sunt triunghiuri echilaterale.

Considerând lungimea unei muchii egală cu \displaystyle l , atunci tetraedrul regulat are formulele:

Aria unei feţe

\displaystyle \textsl{A}_{f}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R=\frac{2}{3}\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{3}

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}=\frac{1}{3}\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{6}

Apotema tetraedrului regulat este înălţimea unei feţe:

\displaystyle a_{p}=\frac{l\sqrt{3}}{2}

Aria laterală

\displaystyle \textsl{A}_{l}=3\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{4}

Aria totală

\displaystyle \textsl{A}_{t}=4\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{4l^{2}\sqrt{3}}{4}=l^{2}\sqrt{3}

Înălţimea tetraedrului regulat:

În \displaystyle \triangle AOM dr. în \displaystyle O \displaystyle h=\sqrt{a_{p}^{2}-a_{b}^{2}}=\sqrt{\frac{3l^{2}}{4}-\frac{3l^{2}}{36}}=\frac{l\sqrt{6}}{3}

Volumul

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

Piramida triunghiulară regulată

Baza piramidei este triunghi echilateral. Feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Formulele de calcul ale piramidei triunghiulare regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=3l

Înălţimea bazei:

\displaystyle h=\frac{l\sqrt{3}}{2}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R= \frac{2}{3}\cdot h=\frac{l\sqrt{3}}{3}

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}= \frac{1}{3}\cdot h=\frac{l\sqrt{3}}{6}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}= \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Apotema piramidei (înălţimea unei feţe laterale):

În \displaystyle \triangle VMC dr. în \displaystyle M , \displaystyle a_{p}=\sqrt{m^{2}-\frac{l^{2}}{4}}

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=\frac{l\cdot a_{p}}{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=3\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{3l\cdot a_{p}}{2}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{b}

Înălţimea piramidei:

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{a_{p}^{2}-a_{b}^{2}}

În \displaystyle \triangle VOA dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{m^{2}-R^{2}}

Volumul piramidei:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

Piramida patrulateră regulată

Baza piramidei este un pătrat. Feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Formulele de calcul ale piramidei patrulatere regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=4l

Diagonala bazei:

\displaystyle d=l\sqrt{2}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R=\frac{d}{2}=\frac{l\sqrt{2}}{2}

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}=\frac{l}{2}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=l^{2}=\frac{d^{2}}{2}

Apotema piramidei (înălţimea unei feţe laterale):

În \displaystyle \triangle VMC dr. în \displaystyle M , \displaystyle a_{p}=\sqrt{m^{2}-\frac{l^{2}}{4}}

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=\frac{l\cdot a_{p}}{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=4\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{4l\cdot a_{p}}{2}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{b}

Înălţimea piramidei:

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{a_{p}^{2}-a_{b}^{2}}

În \displaystyle \triangle VOA dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{m^{2}-R^{2}}

Volumul piramidei:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}

Piramida hexagonală regulată

Baza piramidei este un hexagon regulat. Feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Formulele de calcul ale piramidei hexagonale regulate:

Perimetrul bazei:

\displaystyle \textsl{P}_{b}=6l

Diagonala mare a bazei:

\displaystyle D=2l

Diagonala mică a bazei:

\displaystyle d=l\sqrt{3}

Raza cercului circumscris bazei:

\displaystyle R=l

Apotema bazei:

\displaystyle a_{b}=\frac{l \sqrt{3}}{2}

Aria bazei:

\displaystyle \textsl{A}_{b}=6\cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^{2}\sqrt{3}}{2}

Apotema piramidei (înălţimea unei feţe laterale):

În \displaystyle \triangle VMD dr. în \displaystyle M , \displaystyle a_{p}=\sqrt{m^{2}-\frac{l^{2}}{4}}

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle a_{p}=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}

Aria unei feţe laterale:

\displaystyle \textsl{A}_{f}=\frac{l\cdot a_{p}}{2}

Aria laterală:

\displaystyle \textsl{A}_{l}=6\cdot \textsl{A}_{f}=\frac{6l\cdot a_{p}}{2}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}

Aria totală:

\displaystyle \textsl{A}_{t}=\textsl{A}_{l}+\textsl{A}_{b}

Înălţimea piramidei:

În \displaystyle \triangle VOM dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{a_{p}^{2}-a_{b}^{2}}

În \displaystyle \triangle VOA dr. în \displaystyle O , \displaystyle h=\sqrt{m^{2}-R^{2}}

Volumul piramidei:

\displaystyle \textsl{V}=\frac{\textsl{A}_{b}\cdot h}{3}