Teorema împărţirii cu rest

Teorema împărţirii cu rest:

d : i=c   rest   r      cu      0\leq r< i

Proba împărţirii cu rest:

d=i\cdot c+r      cu      0\leq r< i


Aplicaţii

1. Împărţind numărul natural n la 9  , la 18 şi la 27 , se obţin câturi diferite de zero şi, de fiecare dată, restul egal cu 3 . Aflaţi toate numerele n cu această proprietate, astfel încât 100< n< 250 (Variante 2007).

Rezolvare:

Din enunţul problemei, aflăm că:

n : 9=c_{1} rest 3

n : 18=c_{2} rest 3

n : 27=c_{3} rest 3

Rescriem:

n=9\cdot c_{1}+3

n=18\cdot c_{2}+3

n=27\cdot c_{3}+3

La fiecare relaţie trecem restul în stânga, cu semn schimbat:

n-3=9\cdot c_{1}

n-3=18\cdot c_{2}

n-3=27\cdot c_{3}

Se observă că numărul n-3 astfel obţinut, este multiplu atât de 9 , cât şi de 18 şi de 27.

Cel mai mic număr care îndeplineşte această condiţie este cel mai mic multiplu comun al numerelor 9 , 18 şi 27 .

n-3=\left [ 9,\: 18,\: 27 \right ]

n-3=54

Orice alt multiplu comun este multiplu al multiplului comun. Prin urmare:

n-3\in \left \{ 54,\: 108,\: 162,\: 216,\: 270,\: .. \right \}

Din condiţia suplimentară

100< n< 250

respectiv

97< n-3< 247

rezultă

n-3\in \left \{ 108,\: 162,\: 216 \right \}

deci

n\in \left \{ 111,\: 165,\: 219 \right \}


2. Aflaţi cel mai mic număr natural care, împărţit pe rând la 12 , 15 şi 18 , dă resturile  6 ,  9 , respectiv 12 , iar câturile diferite de zero (Variante 2007).

Rezolvare:

Din enunţul problemei, aflăm că:

n : 12=c_{1} rest 6

n : 15=c_{2} rest 9

n : 18=c_{3} rest 12

Rescriem:

n=12\cdot c_{1}+6

n=15\cdot c_{2}+9

n=18\cdot c_{3}+12

Se observă, pentru fiecare relaţie, că există aceeaşi diferenţă, egală cu 6 , între împărţitor şi rest.

Adăugăm 6 la fiecare relaţie:

n+6=12\cdot c_{1}+12

n+6=15\cdot c_{2}+15

n+6=18\cdot c_{3}+18

sau

n+6=12\left ( c_{1}+1 \right )

n+6=15\left ( c_{2}+1 \right )

n+6=18\left ( c_{3}+1 \right )

Se observă că numărul n+6 astfel obţinut este multiplu atât de 12 , cât şi de 15 şi de 18 .

Cel mai mic număr care îndeplineşte această condiţie este cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 , 15 şi 18 .

n+6=\left [ 12,\: 15,\: 18 \right ]

n+6=180

Se obţine, în final,

n=174


3. Numerele 123 , 87 şi 62 se împart la acelaşi număr natural x , diferit de zero. Se obţin resturile 3 , 7 şi respectiv 2 . Determinaţi cel mai mare număr natural x care îndeplineşte condiţiile problemei (Variante 2007).

Rezolvare:

Din enunţul problemei, aflăm că:

123 : x=c_{1} rest 3

87 : x=c_{2} rest 7

62 : x=c_{3} rest 2

Rescriem:

123=x\cdot c_{1}+3

87=x\cdot c_{2}+7

62=x\cdot c_{3}+2

La fiecare relaţie trecem restul în stânga cu semn schimbat şi obţinem:

120=x\cdot c_{1}

80=x\cdot c_{2}

60=x\cdot c_{3}

Se observă că numărul x este divizor atât al lui 120 , cât şi al lui 80 şi al lui 60 .

Cel mai mare număr care îndeplineşte această condiţie este cel mai mare divizor comun al numerelor 120 , 80 şi 60 .

x=\left ( 120,\: 80,\: 60 \right )

x=20