Modulul unui număr real

Definiţie

Modulul unui număr real x reprezintă distanţa, pe axa numerelor reale, dintre origine şi numărul dat.

\displaystyle \left |x \right |=\left\{\begin{matrix} x,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\; x\geq 0\\ \\ -x,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\; x< 0 \end{matrix}\right.

Modulul unei diferenţe \displaystyle \left | a-b \right | este distanţa, pe axa numerelor reale, dintre numerele \displaystyle a şi \displaystyle b :

\displaystyle \left | a-b \right |=\left\{\begin{matrix} a-b,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\; a\geq b\\ \\ b-a,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\; a<b \end{matrix}\right.

Proprietăţile modulului

\displaystyle \left | x \right |\geq 0

\displaystyle \left | x \right |= 0\; \Leftrightarrow \; x=0

\displaystyle \sqrt{x^{2}}=\left | x \right |

\displaystyle \left | -x \right |=\left | x \right |

\displaystyle \left | x\cdot y \right |=\left | x \right |\cdot \left | y \right |

\displaystyle \left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y \right |},\; y\neq 0

\displaystyle \left | x+y \right |\geq \left | x \right |+\left | y \right | (inegalitatea triunghiului)

\displaystyle \left | x-y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |

\displaystyle \left | \left |x \right |-\left |y \right | \right |\leq \left | x-y \right |