Derivata unei funcţii într-un punct. Funcţia derivată

O funcţie f:D\rightarrow \mathbb{R} este derivabilă în x_{0} , dacă există şi este finită limita

f'\left ( x_{0} \right )= \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}

În acest caz, spunem că f'\left ( x_{0} \right ) este derivata funcţiei în x_{0} .

Funcţia \displaystyle f are derivată în \displaystyle x_{0} , dacă şi numai dacă are derivate laterale în \displaystyle x_{0} . În acest caz,

\displaystyle {f}'\left ( x_{0} \right )={f}'_{s}\left ( x_{0} \right )={f}'_{d}\left ( x_{0} \right )

unde

\displaystyle {f}'_{s}\left ( x_{0} \right )=\lim_{\substack {x \to x_{0} \\ x<x_{0}}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}\in \bar{\mathbb{R}}    şi   \displaystyle {f}'_{d}\left ( x_{0} \right )=\lim_{\substack {x \to x_{0} \\ x>x_{0}}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}\in \bar{\mathbb{R}}

Semnificaţia geometrică a derivatei

Valoarea derivatei funcţiei f în punctul de abscisă x_{0} este egală cu panta tangentei duse la graficul funcţiei în punctul A de coordonate \left ( x_{0},\, f\left ( x_{0} \right ) \right ) .

Ecuaţia tangentei la grafic în punctul A are forma generală:

y=mx+n

Panta tangentei la grafic este egală cu valoarea derivatei în x_{0} .

m=tg\alpha =f'\left ( x_{0} \right )

Termenul liber se obţine din condiţia:

\displaystyle P\left ( x_{0},y_{0} \right )\in G_{f}\: \Rightarrow \: y_{0}={f}'\left ( x_{0} \right )\cdot x_{0}+n

\displaystyle n=y_{0}-{f}'\left ( x_{0} \right )\cdot x_{0}

Ecuaţia tangentei se poate obţine, din relaţia

f'\left ( x_{0} \right )=\displaystyle \frac{y-f\left ( x_{0} \right )}{x-x_{0}}

respectiv

y=f'\left ( x_{0} \right )\cdot x+f\left ( x_{0} \right )-f'\left ( x_{0} \right )\cdot x_{0}

Derivabilitatea unei funcţii pe o mulţime. Funcţia derivată

O funcţie este derivabilă pe o mulţime D'\subseteq D , dacă este derivabilă în fiecare punct x\in D' .

În acest caz, funcţia f':D'\rightarrow \mathbb{R} , notată f'\left ( x \right ) , se numeşte derivata funcţiei f\left ( x \right ) , iar D' se numeşte domeniu de derivabilitate.

Derivata \displaystyle {f}'\left ( x \right ) este nouă funcţie, cu ajutorul căreia se poate obţine panta tangentei la graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) în fiecare punct al domeniului de derivabilitate.

Legătura continuitate – derivabilitate

O funcţie derivabilă într-un punct (pe o mulţime) este continuă în acel punct (pe acea mulţime). Reciproca este falsă.