Reguli de derivare

1. Derivata sumei este egală cu suma derivatelor.

\displaystyle \left ( f+g \right )'=f'+g'

\displaystyle \left ( f-g \right )'=f'-g'

2. Constanta iese în faţa derivatei.

\displaystyle \left ( c\cdot f \right )'=c\cdot f'

3. Derivata produsului:

\displaystyle \left ( f\cdot g \right )'=f'\cdot g+f\cdot g'

4. Derivata raportului:

\displaystyle \left ( \frac{f}{g} \right )'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}

5. Derivarea funcţiilor compuse:

\displaystyle \left ( f\circ g \right )'=\left ( f\left ( g \right ) \right )'=f'\left ( g \right )\cdot g'


Aplicaţii

1. Să se determine derivata funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=x^{3}+5x^{2}-\sqrt[3]{x}-\frac{7}{x^{3}}+4

Rezolvare:

Derivata sumei este egală cu suma derivatelor:

\displaystyle f'\left ( x \right )=\left (x^{3} \right )'+\left (5x^{2} \right )'-\left (\sqrt[3]{x} \right )'-\left (\frac{7}{x^{3}} \right )'+\left (4 \right )'

Constanta iese în faţa derivatei. Derivata unei constante este egală cu zero.

\displaystyle f'\left ( x \right )=\left (x^{3} \right )'+5\left (x^{2} \right )'-\left (\sqrt[3]{x} \right )'-7\left (\frac{1}{x^{3}} \right )'+0

Termenii funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) sunt de tipul \displaystyle x^{n} , \displaystyle n\in \mathbb{Q} , pentru care \displaystyle \left ( x^{n} \right )'=nx^{n-1}

\displaystyle f'\left ( x \right )=\left (x^{3} \right )'+5\left (x^{2} \right )'-\left (x^{\frac{1}{3}} \right )'-7\left (x^{-3} \right )'

\displaystyle f'\left ( x \right )=3x^{2}+5\cdot 2x-\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}-7\left ( -3x^{-4} \right )

\displaystyle f'\left ( x \right )=3x^{2}+10x-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{21}{x^{4}}


2. Să se determine derivata funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=\left ( 3\sin x-1 \right )\left ( 2-5\cos x \right )

Rezolvare:

Derivata produsului:

\displaystyle f'\left ( x \right )=\left ( 3\sin x-1 \right )'\left ( 2-5\cos x \right )+\left ( 3\sin x-1 \right )\left ( 2-5\cos x \right )'

Constanta iese în faţa derivatei. Derivata unei constante este egală cu zero.

\displaystyle f'\left ( x \right )=3\left ( \sin x \right )'\left ( 2-5\cos x \right )+\left ( 3\sin x-1 \right )\left ( -5\left (\cos x \right )' \right )

Din tabelul cu derivate, se utilizează derivatele funcţiilor trigonometrice:

\displaystyle f'\left ( x \right )=3\cos x\left ( 2-5\cos x \right )+\left ( 3\sin x-1 \right )\left ( -5\left (-\sin x \right ) \right )

Apoi se aşează expresia derivatei într-o formă cât mai compactă:

\displaystyle f'\left ( x \right )=3\cos x\left ( 2-5\cos x \right )+5\sin x\left ( 3\sin x-1 \right )

\displaystyle f'\left ( x \right )=6\cos x-15\cos ^{2}x+15\sin ^{2}x-5\sin x

\displaystyle f'\left ( x \right )=6\cos x-15\left (\cos ^{2}x-\sin ^{2}x \right )-5\sin x

\displaystyle f'\left ( x \right )=6\cos x-15\cos 2x-5\sin x


3. Să se determine derivata funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=\frac{\ln x-x}{\ln x+x}

Rezolvare:

Derivata raportului:

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{\left ( \ln x-x \right )'\left ( \ln x+x \right )-\left ( \ln x-x \right )\left ( \ln x+x \right )'}{\left ( \ln x+x \right )^{2}}

Din tabelul cu derivate, se utilizează derivatele funcţiilor elementare:

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{\left ( \frac{1}{x}-1 \right )\left ( \ln x+x \right )-\left ( \ln x-x \right )\left ( \frac{1}{x}+1 \right )}{\left ( \ln x+x \right )^{2}}

Apoi se aşează expresia derivatei într-o formă cât mai compactă:

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{\frac{\ln x}{x}-\ln x+1-x-\frac{\ln x}{x}+1-\ln x+x}{\left ( \ln x+x \right )^{2}}

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{2\left ( 1-\ln x \right )}{\left ( \ln x+x \right )^{2}}


4. Să se determine derivata funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=\mathrm{arctg} \frac{2+x^{2}}{4-x^{2}}

Rezolvare:

Se observă că \displaystyle f\left ( x \right ) este o funcţie compusă, având ca argument un raport de funcţii:

\displaystyle f\left ( x \right )=\mathrm{arctg}\left ( \frac{2+x^{2}}{4-x^{2}} \right )

Se aplică regula derivării funcţiilor compuse:

\displaystyle f\left ( x \right )=\mathrm{arctg}'\left ( \frac{2+x^{2}}{4-x^{2}} \right )\cdot \left ( \frac{2+x^{2}}{4-x^{2}} \right )'

Pentru derivarea funcţiei \displaystyle \mathrm{arctg} \, x se utilizează formula din tabel, păstrând raportul ca argument, iar pentru raport se utilizează regulile pentru derivarea raportului de funcţii:

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{1}{1+\left ( \frac{2+x^{2}}{4-x^{2}} \right )^{2}}\cdot \frac{\left ( 2+x^{2} \right )'\left ( 4-x^{2} \right )-\left ( 2+x^{2} \right )\left ( 4-x^{2} \right )'}{\left ( 4-x^{2} \right )^{2}}

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{1}{1+\left ( \frac{2+x^{2}}{4-x^{2}} \right )^{2}}\cdot \frac{2x\left ( 4-x^{2} \right )-\left ( 2+x^{2} \right )\left ( -2x \right )}{\left ( 4-x^{2} \right )^{2}}

Apoi se aşează expresia derivatei într-o formă cât mai compactă:

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{\left ( 4-x^{2} \right )^{2}}{\left ( 4-x^{2} \right )^{2}+\left ( 2+x^{2} \right )^{2}}\cdot \frac{2x\left ( 4-x^{2} \right )-\left ( -2x \right )\left ( 2+x^{2} \right )}{\left ( 4-x^{2} \right )^{2}}

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{8x-2x^{3}+4x+2x^{3}}{16-8x^{2}+x^{4}+4+4x^{2}+x^{4}}

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{12x}{20-4x^{2}+2x^{4}}

Simplificând, se obţine, în final:

\displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{6x}{10-2x^{2}+x^{4}}