Integrarea prin metoda schimbării de variabilă

Formula:

\displaystyle \int f\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot {g}'\left ( x \right )dx=F\left ( x \right )+\textsl{C}

Etape de lucru:

\displaystyle 1^{\circ} Se identifică funcţiile \displaystyle g\left ( x \right ) şi \displaystyle {g}'\left ( x \right ) .

\displaystyle 2^{\circ} Se notează \displaystyle g\left ( x \right )=t şi se determină \displaystyle {g}'\left ( x \right )dx=dt

\displaystyle 3^{\circ} Se rezolvă

\displaystyle \int f \textrm{(} \underset{t}{\underbrace{g\left ( x \right )}}\textrm{)} \cdot \underset{dt}{\underbrace{{g}'\left (x \right ) dx}}=\int f\left ( t \right )dt=F\left ( t \right )+\textsl{C}=F\left ( g\left ( x \right ) \right )+\textsl{C}


Exemplu:

Să se calculeze

\displaystyle \int \frac{x+1}{x^{2}+2x+3}dx

\displaystyle 1^{\circ} Se identifică funcţiile:

\displaystyle g\left ( x \right )=x^{2}+2x+3

\displaystyle {g}'\left ( x \right )=2x+2=2\left ( x+1 \right )

\displaystyle 2^{\circ} Se notează \displaystyle g\left ( x \right )=t :

\displaystyle x^{2}+2x+3=t

Se determină \displaystyle {g}'\left ( x \right )dx=dt :

\displaystyle 2\left ( x+1 \right )dx=dt

de unde se obţine

\displaystyle \left ( x+1 \right )dx=\frac{dt}{2}

\displaystyle 3^{\circ} . Se calculează integrala:

\displaystyle \int \frac{x+1}{x^{2}+2x+3}dx=

\displaystyle =\int \frac{1}{x^{2}+2x+3}\cdot \left ( x+1 \right )dx=

\displaystyle =\int \frac{1}{t}\cdot \frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt=

\displaystyle =\frac{1}{2}\ln \left | t \right |+\textsl{C}=\frac{1}{2}\ln \left ( x^{2}+2x+3 \right )+\textsl{C}