Divizibilitate

Divizor. Multiplu

Numărul natural d se numeşte divizor al altui număr natural, m , dacă m se împarte exact la d .

Se scrie d\, |\, m şi se citeşte „d îl divide pe m ”.

Se notează D_{m} mulţimea divizorilor naturali ai numărului m :

\displaystyle D_{m}=\left \{ \left.\begin{matrix} d\in \mathbb{N}\, \end{matrix}\right|\, \frac{m}{d}\in \mathbb{N} \right \}

Numărul m se mai numeşte multiplu al lui d .

Se scrie m\, \vdots\, d şi se citeşte „m se divide cu d ” sau „m este divizibil cu d ”.

Se notează M_{d} mulţimea multiplilor numărului d :

\displaystyle M_{d}=\left \{ m\in \mathbb{N}\, |\, m=d\cdot n,\, n\in \mathbb{N} \right \}

Proprietăţi ale divizibilităţii numerelor naturale

a\, |\, a sau a\, \vdots \, a

1\, |\, a sau a\, \vdots \, 1

a\, |\, 0 sau 0\, \vdots \, a

Dacă d\, |\, a şi a\, |\, b , atunci d\, |\, b

Dacă a\, \vdots \, b şi b\, \vdots \, a , atunci a=b

Dacă d\, |\, a , atunci, d\, |\, \left ( n\cdot a \right ),\, n\in \mathbb{N}

Dacă d\, |\, a şi d\, |\, b , atunci d\, |\, \left ( a+b \right ) şi d\, |\, \left ( a-b \right )

Dacă d\, |\, a şi d\, |\, b , atunci d\, |\, \left ( k\cdot a\pm p\cdot b \right )

Dacă m\, |\, a şi n\, |\, a , iar m şi n sunt prime între ele, respectiv \left ( m,\, n \right )=1 , atunci \left ( m\cdot n \right )\, |\, a

Criterii de divizibilitate

1°    Un număr natural se divide cu 10 , dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0 .

2°    Un număr natural se divide cu 2 , dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0 , 2 , 4 , 6 , 8 . Numerele naturale divizibile cu 2 se numesc pare.

Numerele naturale care nu sunt divizibile cu 2 se numesc impare (au ultima cifră 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ).

3°    Un număr natural se divide cu 5 , dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5 .

4°    Un număr natural se divide cu 4 , dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt 00 sau formează un număr divizibil cu 4 .

5°    Un număr natural se divide cu 3 , dacă şi numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 .

6°    Un număr natural se divide cu 9 , dacă şi numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 9 .

 


Aplicaţii

1. Să se determine elementele mulţimii \displaystyle A=\left \{ x\in \mathbb{N}\; |\: \frac{3x+8}{2x+1}\in \mathbb{N} \right \} .

Rezolvare:

O fracţie aparţine mulţimii numerelor naturale dacă numărătorul este divizibil cu numitorul (sau numitorul divide numărătorul).

\displaystyle \frac{3x+8}{2x+1}\in \mathbb{N}\: \Rightarrow \: \left (2x+1 \right )\mid \left ( 3x+8 \right )

În plus, orice număr se divide cu el însuşi:

\displaystyle \left (2x+1 \right )\mid \left ( 2x+1 \right )

Dacă un număr divide alt număr, atunci divide şi orice multiplu al acestuia.

\displaystyle d\mid a\: \Rightarrow \: d\mid \left ( n\cdot a \right )

Înmulţim corespunzător cele două numere din dreapta, astfel încât să obţinem acelaşi coeficient în faţa necunoscutei \displaystyle x .

\displaystyle \left (2x+1 \right )\mid 2\left ( 3x+8 \right )

\displaystyle \left (2x+1 \right )\mid 3\left ( 2x+1 \right )

Dacă acelaşi număr divide două numere diferite, atunci divide şi diferenţa lor.

\displaystyle \left ( 2x+1 \right )\mid \left [ 2\left ( 3x+8 \right )-3\left ( 2x+1 \right ) \right ]\: \Rightarrow \: \left ( 2x+1 \right )\mid 13

Numitorul \displaystyle \left ( 2x+1 \right ) trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui \displaystyle 13 .

Efectuăm calculele succesive pentru a găsi valorile lui \displaystyle x .

\displaystyle 2x+1\in \left \{ -13;\, -1;\, 1;\, 13 \right \}\: \mid -1

\displaystyle 2x\in \left \{ -14;\, -2;\, 0;\, 12 \right \}\: \mid :2

\displaystyle x\in \left \{ -7;\, -1;\, 0;\, 6 \right \}\: \mid :2

Deoarece \displaystyle x trebuie să fie număr natural, mulţimea \displaystyle A este:

\displaystyle A= \left \{ 0;\, 6 \right \}