Calculul sumelor

Pentru a exprima mai convenabil suma termenilor şirului \displaystyle \left ( a_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}^{*}} se utilizează notaţia:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}

Sume importante:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}

Reguli de calcul:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha \cdot a_{k}=\alpha \cdot \sum_{k=1}^{n}a_{k}

Aplicând regulile de calcul, se poate determina uşor, de exemplu, suma primelor n numere impare:

\displaystyle 1+3+5+\cdots +\left ( 2n-1 \right )=\sum_{k=1}^{n}\left ( 2k-1 \right )=

\displaystyle =2\cdot \sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}1=

\displaystyle =2\cdot \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}-n=n^{2}+n-n=n^{2}

Aplicaţii

1. Să se calculeze suma:  \displaystyle 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\cdots +n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right ).

Rezolvare:

Se scrie suma sub formă restrânsă:

\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\cdots +n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )=\sum_{k=1}^{n}k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )

Se efectuează înmulţirile pentru a schimba forma termenului general:

\displaystyle k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )=k^{3}+3k^{2}+2k

Se aplică regulile de calcul cu sume, utilizând proprietăţile adunării şi factorul comun, apoi se înlocuiesc sumele simple cu formulele cunoscute şi se efectuează calculele pentru a obţine rezultatul final.

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )=\sum_{k=1}^{n}\left (k^{3}+3k^{2}+2k \right )=

\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^{3}+3\sum_{k=1}^{n}k^{2}+2\sum_{k=1}^{n}k=

\displaystyle =\frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}+3\cdot \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}+2\cdot \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}=

\displaystyle =\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )}{4}

Formula obţinută poate fi verificată cu metoda inducţiei matematice.