Operaţii cu mulţimi

Reuniunea

Mulţimea formată din elementele care aparţin cel puţin uneia dintre mulţimile A sau B se numeşte reuniunea mulţimilor A şi B şi se scrie A\cup B .

 

\displaystyle A\cup B=\left \{ x\, |\, x\in A\, \textrm{sau}\, x\in B \right \}

 

Numărul de elemente al reuniunii mulţimilor A şi B :

\displaystyle card\, \left (A\cup B \right )=card\, A+card\, B-card\left ( A\cap B \right )

Intersecţia

Mulţimea formată din elementele care aparţin şi lui A şi lui B se numeşte intersecţia mulţimilor A şi B şi se scrie A\cap B .

 

\displaystyle A\cap B=\left \{ x\, |\, x\in A\, \textrm{\c si}\, x\in B \right \}

 

Dacă A şi B sunt disjuncte, intersecţia lor este mulţimea vidă.

Diferenţa a două mulţimi

Se numeşte diferenţa dintre A şi B mulţimea elementelor care aparţin lui A şi nu aparţin lui B . Se scrie A-B sau A\setminus B .

 

\displaystyle A\setminus B=\left \{ x\, |\, x\in A \, \textrm{\c si}\, x\notin B \right \}

\displaystyle card\, \left ( A\setminus B \right )=card\, A-card\, \left ( A\cap B \right )

 

\displaystyle B\setminus A=\left \{ x\, |\, x\in B \, \textrm{\c si}\, x\notin A \right \}

\displaystyle card\, \left ( B\setminus A \right )=card\, B-card\, \left ( A\cap B \right )

 

Complementara unei mulţimi

Dacă sunt date două mulţimi A şi E , astfel încât A\subset E , diferenţa E\setminus A se mai numeşte complementara lui A faţă de E şi se notează \complement_{E} A .

 

\displaystyle \complement_{E} A=E\setminus A=\left \{ x\, |\, x\in E,\, x\notin A \right \}

\displaystyle card \left (\complement_{E} A \right )=card\, E-card\, A

 

Pereche ordonată

Se numeşte pereche ordonată (cuplu) formată din elementele x şi y o ordine între elementele x şi y , în sensul că x este primul element, iar y este al doilea element. Se notează \left ( x, y \right ) .

Produsul cartezian

Fie A şi B două mulţimi. Mulţimea ale cărei elemente sunt toate perechile ordonate \left ( a, b \right ) , în care a\in A şi b\in B se numeşte produsul cartezian al mulţimilor A şi B (în această ordine) şi se notează A\times B .

\displaystyle A\times B=\left \{ \left ( a,b \right )\, |\, a\in A,\, b\in B \right \}

\displaystyle \left.\begin{matrix} A=\left \{ x,y,z \right \}\\ B=\left \{ a,b,c \right \} \end{matrix}\right\}\Rightarrow A\times B=\left \{ \left ( x,a \right );\left ( x,b \right );\left ( x,c \right );\left ( y,a \right );\left ( y,b \right );\left ( y,c \right );\left ( z,a \right );\left ( z,b \right );\left ( z,c \right ) \right \}

\displaystyle card\, \left ( A\times B \right )=card\, A\cdot card\, B