Şirul lui Rolle

Şirul lui Rolle poate fi utilizat pentru determinarea numărului de rădăcini reale ale unui polinom de gradul al treilea sau mai mare, precum şi pentru separarea rădăcinilor reale pe intervale.

Proprietăţi utilizate:

„Între două zerouri ale derivatei se află un singur zero al funcţiei.”

„O funcţie continuă nu trece de la o valoare la alta fără să treacă prin toate valorile intermediare.”

„O funcţie continuă nu poate să schimbe semnul fără să se anuleze.”

Etapele formării şirului lui Rolle

Fie funcţia \displaystyle f :D\rightarrow \mathbb{R} , continuă şi derivabilă, precum şi ecuaţia \displaystyle f\left ( x \right )=0 .

  1. Se determină \displaystyle {f}'\left ( x \right ) şi se rezolvă \displaystyle {f}'\left ( x \right )=0 .
  2. Într-un tabel se trec extremităţile domeniului de definiţie, precum şi rădăcinile derivatei, în ordine crescătoare.
  3. Se calculează valorile funcţiei, atât în extremităţile domeniului de definiţie, cât şi pentru fiecare dintre rădăcinile derivatei.
  4. Şirul lui Rolle este şirul semnelor valorilor obţinute.
  5. Interpretare:

a) Între două semne consecutive identice nu se află nici o soluţie reală.

b) Între două semne consecutive care alternează, se află o singură soluţie reală a ecuaţiei \displaystyle f\left ( x \right )=0 .

c) Dacă pentru o valoare \displaystyle c , atât \displaystyle {f}'\left ( c \right )=0 , cât şi \displaystyle f\left ( c \right )=0 , atunci \displaystyle c este rădăcină multiplă.


Aplicaţii

1. Se consideră funcţia f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f\left ( x \right )=x^{5}-5x+4.  Arătaţi că, pentru orice m\in \left ( 0,8 \right ) , ecuaţia f\left ( x \right )=m admite exact trei soluţii reale distincte. (Bac 2011, Varianta 2)

Rezolvare:

Se consideră ecuaţia

x^{5}-5x+4=m

respectiv

x^{5}-5x+4-m=0

Cu ajutorul şirului lui Rolle, se determină numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei considerate, cu discuţie după valorile parametrului m.

Fie funcţia

h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\: h\left ( x \right )=x^{5}-5x+4-m

având derivata

h'\left ( x \right )=5x^{4}-5=5\left ( x^{4}-1 \right )=5\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+1 \right )

Ecuaţia h'\left ( x \right )=0 are  două soluţii reale, x_{1}=1  şi  x_{2}=-1 .

Calculăm:

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}h\left ( x \right )=\displaystyle \lim_{x\to -\infty}x^{5}\left ( 1-\frac{5}{x^{4}}+\frac{4-m}{x^{5}} \right )=-\infty

\displaystyle \lim_{x\to \infty}h\left ( x \right )=\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^{5}\left ( 1-\frac{5}{x^{4}}+\frac{4-m}{x^{5}} \right )=+\infty

h\left ( -1 \right )=8-m

h\left ( 1 \right )=-m

Se observă că h\left ( -1 \right )=0  dacă m=8 , respectiv h\left ( 1 \right )=0, dacă m=0.

Pentru discuţie, se vor considera situaţiile:

m\in \left ( -\infty,0 \right );\: m=0;\: m\in \left ( 0,8 \right );\: m=8;\: m\in \left ( 8,+\infty \right )

Realizăm tabelul:

În concluzie, ecuaţia are trei soluţii reale distincte dacă m\in \left ( 0,8 \right ) .