Rolul primei derivate în studiul funcţiilor

Cu ajutorul primei derivate se pot determina punctele de extrem ale funcţiei, precum şi intervalele de monotonie ale acesteia.

Pentru a determina punctele de extrem:

\displaystyle 1^{\circ} Se calculează derivata \displaystyle {f}'\left ( x \right ) .

\displaystyle 2^{\circ} Se rezolvă ecuaţia \displaystyle {f}'\left ( x \right )=0 .

Soluţiile reale ale ecuaţiei \displaystyle {f}'\left ( x \right )=0 se numesc puncte de extrem.

Un punct este de extrem (de minim sau de maxim) numai dacă derivata funcţiei se anulează în acel punct, iar de-o parte şi de alta a punctului semnele derivatei alternează.

Dacă într-un interval \displaystyle I există un singur punct de maxim \displaystyle x_{M} , valoarea \displaystyle f \left (x_{M} \right ) se numeşte valoarea maximă a funcţiei în intervalul respectiv şi se poate scrie:

\displaystyle f\left ( x \right )\leq f\left ( x_{M} \right ),\; \forall x\in I

Dacă într-un interval \displaystyle I există un singur punct de minim \displaystyle x_{m} , valoarea \displaystyle f \left (x_{m} \right ) se numeşte valoarea minimă a funcţiei în intervalul respectiv şi se poate scrie:

\displaystyle f\left ( x \right )\geq f\left ( x_{m} \right ),\; \forall x\in I

Pentru a studia monotonia funcţiei se stabileşte semnul derivatei pe intervale.

Cea mai simplă metodă este determinarea semnului derivatei pentru o valoare convenabil aleasă din intervalul respectiv. Întrucât derivata are proprietatea lui Darboux, pe intervalul dintre două zerouri consecutive semnul nu se modifică.

Dacă derivata este pozitivă pe un interval, funcţia este crescătoare pe intervalul respectiv.

Dacă derivata este negativă, funcţia este descrescătoare.

Exemplu:

Se consideră funcţia \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; f\left ( x \right )=-x^{3}+3x+9 . Să se demonstreze că \displaystyle f\left ( x \right )\leq 11 , pentru orice \displaystyle x\in \left [-1;\: \infty \right ) .

Se studiază monotonia funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) .

Derivata funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) este

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=-3x^{2}+3

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=-3\left (x^{2}-1 \right )

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=-3\left (x-1 \right )\left ( x+1 \right )

Rezolvând ecuaţia \displaystyle {f}'\left ( x \right )=0 , se obţin punctele de extrem \displaystyle x_{1}=-1 şi \displaystyle x_{2}=1 .

Se calculează şi valorile extreme ale funcţiei: \displaystyle f\left ( -1 \right )=7 şi \displaystyle f\left ( 1 \right )=11

Este utilă întocmirea unui tabel de monotonie:

Funcţia \displaystyle f\left ( x \right ) este descrescătoare dacă \displaystyle x\in \left ( -\infty ;\: -1 \right )\cup \left ( 1;\: \infty \right ) şi este crescătoare dacă \displaystyle x\in \left ( -1;\: 1 \right ) .

Se poate observa că, în intervalul \displaystyle \left [ -1;\: \infty \right ) graficul funcţiei are un singur punct de extrem, şi anume punctul de maxim \displaystyle x=1 , în care valoarea maximă a funcţiei este \displaystyle f\left ( 1 \right )=11 .

Prin urmare, se poate scrie:

\displaystyle f\left ( x \right )\leq 11 , pentru orice \displaystyle x\in \left [ -1;\: \infty \right )