Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

  1. Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

\triangle ABC dr. în A\, \Rightarrow \, AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}

Reciproca teoremei lui Pitagora

Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Rightarrow \, \triangle ABC dr. în A

  1. Teorema înălţimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este medie proporţională (geometrică) a lungimilor proiecţiilor catetelor pe ipotenuză.

\displaystyle \left.\begin{matrix} \triangle ABC\, \mathrm{dr.}\\ AD\perp BC,\, D\in \left ( BC \right ) \end{matrix}\right\} \Rightarrow AD^{2}=BD\cdot DC sau \displaystyle AD=\sqrt{BD\cdot DC}

Reciproca teoremei înălţimii

Dacă într-un triunghi ABC înălţimea AD,\, D\in \left ( BC \right ) , este medie geometrică între proiecţiile laturilor AB şi AC pe BC , atunci triunghiul este dreptunghic în A.

  1. Teorema catetei

Într-un triunghi dreptunghic, o catetă este medie proporţională (geometrică) între ipotenuză şi proiecţia catetei respective pe ipotenuză.

\displaystyle \left.\begin{matrix} \triangle ABC\, \mathrm{dr.}\\ AD\perp BC,\, D\in \left (BC \right ) \end{matrix}\right\} \Rightarrow AB^{2}=BD\cdot BC sau \displaystyle AB=\sqrt{BD\cdot BC}

\displaystyle \left.\begin{matrix} \triangle ABC\, \mathrm{dr.}\\ AD\perp BC,\, D\in \left (BC \right ) \end{matrix}\right\} \Rightarrow AC^{2}=CD\cdot CB sau \displaystyle AC=\sqrt{CD\cdot CB}

Reciproca teoremei catetei

Dacă într-un triunghi ABC proiecţia punctului A pe BC este D şi \displaystyle AB^{2}=BD\cdot BC , atunci triunghiul este dreptunghic în A .