Proporţii derivate

Proporţia este egalitatea a două rapoarte:

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

Termenii a şi d se numesc extremi, iar termenii b şi c se numesc mezi.

Proprietatea fundamentală a proporţiilor

În orice proporţie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.

\displaystyle a\cdot d=b\cdot c

Aflarea unui termen al unei proporţii

Pentru a afla un termen al unei proporţii, înmulţim termenii de pe cealaltă diagonală şi împărţim la termenul de acelaşi tip.

\displaystyle \frac{x}{b}=\frac{c}{d}\: \Rightarrow \: x=\frac{b\cdot c}{d}

\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{c}{d}\: \Rightarrow \: x=\frac{a\cdot d}{c}

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{x}{d}\: \Rightarrow \: x=\frac{a\cdot d}{b}

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{x}\: \Rightarrow \: x=\frac{b\cdot c}{a}

Proporţii derivate

O proporţie care se obţine, printr-un procedeu oarecare, din altă proporţie, se numeşte proporţie derivată.

Pornind de la:

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

proporţii derivate cu aceeaşi termeni se pot obţine prin:

  • schimbarea între ei a extremilor

\displaystyle \frac{d}{b}=\frac{c}{a}

  • schimbarea între ei a mezilor

\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d}

  • inversarea rapoartelor

\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{d}{c}

Proporţii derivate cu termenii schimbaţi se pot obţine prin:

  • adunarea sau scăderea numărătorilor la numitori

\displaystyle \frac{a}{a\pm b}=\frac{c}{c\pm d}

  • adunarea sau scăderea numitorilor la numărători

\displaystyle \frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}

  • suma numărătorilor pe suma numitorilor

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}

  • diferenţa numărătorilor pe diferenţa numitorilor

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}

În afara celor enumerate, există şi alte posibilităţi de a obţine proporţii derivate, dar sunt mai puţin întâlnite.