Raţionalizarea numitorilor

Pentru raţionalizarea numitorilor se utilizează formula diferenţei de pătrate:

\displaystyle \left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}

Raţionalizarea numitorului de forma \displaystyle a\sqrt{b}

Numitorul de tipul \displaystyle \sqrt{b}  sau \displaystyle a\sqrt{b}  se raţionalizează prin amplificarea cu \displaystyle \sqrt{b} .

\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{b}}{b};\; \; \; b> 0

Raţionalizarea numitorului de forma \displaystyle a\pm \sqrt{b}

Numitorul de forma \displaystyle a\pm \sqrt{b},\; b>0 se raţionalizează prin amplificarea cu conjugata numitorului.

\displaystyle \frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{\left ( a+\sqrt{b} \right )\left ( a-\sqrt{b} \right )}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{a^{2}-\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}

\displaystyle \frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{\left ( a-\sqrt{b} \right )\left ( a+\sqrt{b} \right )}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{a^{2}-\left ( \sqrt{b} \right )^{2}}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}

Raţionalizarea numitorului de forma \displaystyle a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d} se realizează similar, prin amplificarea cu conjugata:

\displaystyle \frac{n}{a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}}=\frac{n\left ( a\sqrt{b}\mp c\sqrt{d} \right )}{\left ( a\sqrt{b} \right )^{2}-\left ( c\sqrt{d} \right )^{2}}=\frac{n\left ( a\sqrt{b}\mp c\sqrt{d} \right )}{a^{2}b-c^{2}d}