Operaţii cu expresii algebrice

O variabilă este un simbol, de obicei o literă, utilizată pentru a reprezenta un număr necunoscut.

Expresia algebrică conţine numere, variabile şi cel puţin o operaţie aritmetică.

Un produs având ca factori numere şi variabile (litere) la diferite puteri se numeşte monom. În cadrul unui monom nu se mai scrie semnul înmulţirii, deoarece se subînţelege.

Valoarea unei expresii algebrice, pentru anumite valori atribuite variabilelor, se obţine înlocuind literele cu valorile lor şi efectuând calculele matematice corespunzătoare.

Dacă

\displaystyle E\left ( x,\, y \right )=3x^{2}-2xy+5y^{3}

atunci, valoarea expresiei pentru \displaystyle x=3 şi \displaystyle y=2 este:

\displaystyle E\left ( 3,\, 2 \right )=3\cdot 3^{2}-2\cdot 3\cdot 2+5\cdot 2^{3}=27-12+40=55

Adunarea şi scăderea

Într-o expresie algebrică se pot aduna sau scădea numai termenii asemenea.

Se numesc termeni asemenea monoamele care conţin exact aceleaşi variabile, la aceleaşi puteri.

Se pot aduna

\displaystyle 5x^{2}y+7x^{2}y=12x^{2}y

Nu se pot aduna

\displaystyle 5x^{2}y+7xy

Termenii care nu conţin variabile, ci numai numere, se numesc termeni liberi sau constante şi sunt consideraţi termeni asemenea (conţin variabile la puterea \displaystyle 0 ).

Înmulţirea şi împărţirea

Pentru a înmulţi două monoame:

  • se ţine seama de regula semnelor
  • se înmulţesc sau se împart numerele între ele
  • se înmulţesc sau se împart literele de acelaşi fel, ţinând seama de regulile de calcul cu puteri (la înmulţire exponenţii se adună, la împărţire se scad)

\displaystyle \left ( 2x^{2}y \right )\cdot \left ( -3xy^{2} \right )=-6x^{3}y^{3}

\displaystyle \left ( -12x^{2}y \right ) : \left ( -3xy^{2} \right )=4xy^{-1}=\frac{4x}{y}

Înmulţirea parantezelor se realizează termen cu termen, apoi toţi termenii asemenea se adună.

\displaystyle \begin{matrix} \left ( 4x-2 \right )\left ( 6x+5 \right )=\\ \\ =4x\cdot 6x+4x\cdot 5-2\cdot 6x-2\cdot 5=\\ \\ =24x^{2}+20x-12x-10=\\ \\ =24x^{2}+8x-10 \end{matrix}

Ridicarea la putere

Se utilizează regulile de calcul cu puteri: se ridică la putere fiecare factor separat, iar exponenţii se înmulţesc.

\displaystyle \left ( 3x^{2}y \right )^{3}=3^{3}\cdot \left ( x^{2} \right )^{3}\cdot y^{3}=27x^{6}y^{3}

Scoaterea factorilor de sub radical

Se pot scoate de sub radical numai factorii la putere pară, care se scriu în faţa radicalului, la putere înjumătăţită. Ceilalţi factori rămân sub radical.

\displaystyle \sqrt{27x^{6}y^{3}}=\sqrt{3^{2}\cdot 3\cdot x^{6}\cdot y^{2}\cdot y}=3x^{3}y\sqrt{3y}