Ultima cifră a unui număr natural sau puterii unui număr natural

Pentru a preciza ultima cifră a unui număr natural se utilizează notaţia \displaystyle UC\left ( n \right ) .

\displaystyle UC\left ( 1974 \right )=4

Dacă numărul natural este ridicat la o putere mare şi, prin urmare, dificilă de calculat, se poate afla ultima cifră a puterii numărului natural printr-una dintre metodele următoare:

1. Numerele care au ultima cifră \displaystyle 0 , \displaystyle 1 , \displaystyle 5 sau \displaystyle 6 se termină întotdeauna cu aceeaşi cifră, indiferent la ce putere sunt ridicate.

\displaystyle UC\left ( 0^{n} \right )=0 pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}

\displaystyle UC\left ( 1^{n} \right )=1 pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}

\displaystyle UC\left ( 5^{n} \right )=5 pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}

\displaystyle UC\left ( 6^{n} \right )=6 pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*}

2. Ultima cifră a numerelor care se termină cu \displaystyle 4 sau \displaystyle 9 poate avea doar două valori: o valoare dacă exponentul este par, respectiv altă valoare dacă exponentul este impar.

\displaystyle UC\left ( 4^{n} \right )=UC\left ( 4^{2} \right )=6 pentru \displaystyle n=2k

\displaystyle UC\left ( 4^{n} \right )=UC\left ( 4^{1} \right )=4 pentru \displaystyle n=2k+1

şi

\displaystyle UC\left ( 9^{n} \right )=UC\left ( 9^{2} \right )=1 pentru \displaystyle n=2k

\displaystyle UC\left ( 9^{n} \right )=UC\left ( 9^{1} \right )=9 pentru \displaystyle n=2k+1

3. Ultima cifră a numerelor care se termină cu \displaystyle 2 , \displaystyle 3 , \displaystyle 7 sau \displaystyle 8 poate avea patru valori. Acestea se stabilesc în funcţie de restul împărţirii exponentului la \displaystyle 4 .

\displaystyle UC\left ( 2^{n} \right )=UC\left ( 2^{4} \right )=6 pentru \displaystyle n=4k+0

\displaystyle UC\left ( 2^{n} \right )=UC\left ( 2^{1} \right )=2 pentru \displaystyle n=4k+1

\displaystyle UC\left ( 2^{n} \right )=UC\left ( 2^{2} \right )=4 pentru \displaystyle n=4k+2

\displaystyle UC\left ( 2^{n} \right )=UC\left ( 2^{3} \right )=8 pentru \displaystyle n=4k+3

Asemănător,

\displaystyle UC\left ( 3^{n} \right )=UC\left ( 3^{4} \right )=1 pentru \displaystyle n=4k+0

\displaystyle UC\left ( 3^{n} \right )=UC\left ( 3^{1} \right )=3 pentru \displaystyle n=4k+1

\displaystyle UC\left ( 3^{n} \right )=UC\left ( 3^{2} \right )=9 pentru \displaystyle n=4k+2

\displaystyle UC\left ( 3^{n} \right )=UC\left ( 3^{3} \right )=7 pentru \displaystyle n=4k+3

respectiv,

\displaystyle UC\left ( 7^{n} \right )=UC\left ( 7^{4} \right )=1 pentru \displaystyle n=4k+0

\displaystyle UC\left ( 7^{n} \right )=UC\left ( 7^{1} \right )=7 pentru \displaystyle n=4k+1

\displaystyle UC\left ( 7^{n} \right )=UC\left ( 7^{2} \right )=9 pentru \displaystyle n=4k+2

\displaystyle UC\left ( 7^{n} \right )=UC\left ( 7^{3} \right )=3 pentru \displaystyle n=4k+3

şi

\displaystyle UC\left ( 8^{n} \right )=UC\left ( 8^{4} \right )=6 pentru \displaystyle n=4k+0

\displaystyle UC\left ( 8^{n} \right )=UC\left ( 8^{1} \right )=8 pentru \displaystyle n=4k+1

\displaystyle UC\left ( 8^{n} \right )=UC\left ( 8^{2} \right )=4 pentru \displaystyle n=4k+2

\displaystyle UC\left ( 8^{n} \right )=UC\left ( 8^{3} \right )=2 pentru \displaystyle n=4k+3

Numerele care sunt pătrate perfecte pot avea ultima cifră \displaystyle 0 , \displaystyle 1 , \displaystyle 4 , \displaystyle 5 , \displaystyle 6 sau \displaystyle 9 .

Numerele care sunt pătrate perfecte nu pot avea ultima cifră \displaystyle 2 , \displaystyle 3 , \displaystyle 7 sau \displaystyle 8 .