Triunghiul oarecare. Aria, perimetrul.

Fie \displaystyle A , \displaystyle B , \displaystyle C trei puncte necoliniare. Se numeşte triunghi determinat de punctele \displaystyle A , \displaystyle B , \displaystyle C reuniunea segmentelor \displaystyle \left [AB \right ] , \displaystyle \left [BC \right ] şi \displaystyle \left [AC \right ] .

Se notează \displaystyle \triangle ABC .

Clasificarea triunghiurilor

  • după lungimea laturilor
    • triunghiul oarecare (scalen) are laturile de lungimi diferite
    • triunghiul isoscel are două laturi egale
    • triunghiul echilateral are toate laturile egale între ele
  • după măsurile unghiurilor
    • triunghiul ascuţitunghic are toate unghiurile ascuţite
    • triunghiul dreptunghic are un unghi drept
    • triunghiul obtuzunghic are un unghi obtuz

 

Inegalitatea triunghiului

Lungimile laturilor unui triunghi se notează cu litere mici. Litera corespunde vârfului unghiului care se opune laturii respective.

În orice triunghi, lungimea unei laturi este mai mică decat suma lungimilor celorlalte două laturi.

\displaystyle a<b+c

\displaystyle b<a+c

\displaystyle c<a+b

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu \displaystyle 180^{\circ} .

\displaystyle m\left ( \measuredangle A \right )+m\left ( \measuredangle B \right )+m\left ( \measuredangle C \right )=180^{\circ}

Teorema unghiului exterior

Se numeşte unghi exterior unui triunghi, unghiul format de o latură cu prelungirea altei laturi.

Măsura unghiului exterior unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare neadiacente.

\displaystyle m\left ( \measuredangle ACD \right )=m\left ( \measuredangle A \right )+m\left ( \measuredangle B \right )

Perimetrul triunghiului

\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC

\displaystyle P_{\triangle ABC}=a+b+c

Semiperimetrul

\displaystyle p=\frac{P_{\triangle ABC}}{2}=\frac{a+b+c}{2}

Aria triunghiului oarecare

\displaystyle A_{\triangle ABC}=\frac{a\cdot h_{a}}{2}=\frac{b\cdot h_{b}}{2}=\frac{c\cdot h_{c}}{2}

Dacă lungimile laturilor sunt exprimate prin numere naturale, se poate aplica formula lui Heron:

\displaystyle A_{\triangle ABC}=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}

Formula ariei cu sinus:

\displaystyle A_{\triangle ABC}=\frac{a\cdot b\cdot \sin \left ( \measuredangle C \right )}{2}=\frac{b\cdot c\cdot \sin \left ( \measuredangle A \right )}{2}=\frac{a\cdot c\cdot \sin \left ( \measuredangle B \right )}{2}