Funcţia de gradul al doilea

Funcţia de gradul al doilea are forma generală \displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c,\; a\neq 0

Reprezentarea grafică a funcţiei de gradul al doilea se numeşte parabolă.

Coordonatele vârfului parabolei se determină cu formulele:

\displaystyle x_{V}=-\frac{b}{2a},\; y_{V}=-\frac{\Delta }{4a}

unde \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac .

Dreapta verticală de ecuaţie \displaystyle x=-\frac{b}{2a} este axă de simetrie pentru graficul funcţiei de gradul al doilea.

Graficul funcţiei de gradul al doilea

Dacă \displaystyle a>0 , punctul \displaystyle V\left ( -\frac{b}{2a},\: -\frac{\Delta }{4a} \right ) este punct de minim absolut al funcţiei, iar parabola este convexă (“ţine apa”).

Valoarea minimă a funcţiei este egală cu \displaystyle -\frac{\Delta }{4a} .

Imaginea funcţiei este \displaystyle \textrm{Im}\, f=\left [-\frac{\Delta }{4a},\, +\infty \right ) .

Funcţia este descrescătoare pentru \displaystyle x\in \left (-\infty ,\, -\frac{b}{2a}\right ) şi crescătoare pentru \displaystyle x\in \left (-\frac{b}{2a},\, +\infty \right ) .

Pentru \displaystyle a>0 şi \displaystyle \Delta <0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c este situat deasupra axei \displaystyle Ox

\displaystyle ax^{2}+bx+c>0,\; \left ( \forall \right ) x\in \mathbb{R}

Pentru \displaystyle a>0 şi \displaystyle \Delta =0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c este tangent axei \displaystyle Ox

\displaystyle ax^{2}+bx+c \geq 0,\; \left ( \forall \right ) x\in \mathbb{R}

Pentru \displaystyle a>0 şi \displaystyle \Delta >0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c taie axa \displaystyle Ox în două puncte distincte

\displaystyle ax^{2}+bx+c \geq 0,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\: x\in \left ( -\infty ,x_{1} \right ]\cup \left [ x_{2},+\infty \right )

\displaystyle ax^{2}+bx+c<0,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\: x\in \left ( x_{1},x_{2} \right )

Dacă \displaystyle a<0 , punctul \displaystyle V\left ( -\frac{b}{2a},\: -\frac{\Delta }{4a} \right ) este punct de maxim absolut al funcţiei, iar parabola este concavă (“nu ţine apa”).

Valoarea maximă a funcţiei este egală cu \displaystyle -\frac{\Delta }{4a} .

Imaginea funcţiei este \displaystyle \textrm{Im}\, f=\left ( -\infty ,\, -\frac{\Delta }{4a} \right ]

Funcţia este crescătoare pentru \displaystyle x\in \left (-\infty ,\, -\frac{b}{2a}\right ) şi descrescătoare pentru \displaystyle x\in \left (-\frac{b}{2a},\, +\infty \right ) .

Pentru \displaystyle a<0 şi \displaystyle \Delta <0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c este situat dedesubtul axei \displaystyle Ox

\displaystyle ax^{2}+bx+c<0,\; \left ( \forall \right ) x\in \mathbb{R}

Pentru \displaystyle a<0 şi \displaystyle \Delta =0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c este tangent axei \displaystyle Ox

\displaystyle ax^{2}+bx+c \leq 0,\; \left ( \forall \right ) x\in \mathbb{R}

Pentru \displaystyle a<0 şi \displaystyle \Delta >0

graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c taie axa \displaystyle Ox în două puncte distincte

\displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\: x\in \left [ x_{1},x_{2} \right ]

\displaystyle ax^{2}+bx+c<0,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\: x\in \left ( -\infty ,x_{1} \right )\cup \left ( x_{2},+\infty \right )

Intersecţia graficului cu axele de coordonate

Intersecţia graficului funcţiei cu axa \displaystyle Ox se determină rezolvând ecuaţia \displaystyle f\left ( x \right )=0 , respectiv

\displaystyle ax^{2}+bx+c=0

  • Dacă \displaystyle \Delta >0 , ecuaţia are două soluţii reale distincte \displaystyle x_{1}\neq x_{2}, prin urmare graficul funcţiei intersectează axa \displaystyle Ox în două puncte distincte.
  • Dacă \displaystyle \Delta =0 ecuaţia o soluţie reală dublă \displaystyle x_{1}= x_{2}, prin urmare graficul funcţiei este tangent axei \displaystyle Ox .
  • Dacă \displaystyle \Delta <0 , ecuaţia nu are soluţii reale, prin urmare graficul nu intersectează axa \displaystyle Ox .

 

Intersecţia graficului cu axa \displaystyle Oy se obţine pentru \displaystyle x=0 , deci este punctul având coordonatele \displaystyle \left ( 0,\, c \right ) .

Semnul funcţiei de gradul al doilea

  • Dacă \displaystyle \Delta >0 , funcţia \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c are semnul lui \displaystyle a pe intervalele \displaystyle \left ( -\infty ,\, x_{1} \right ) şi \displaystyle \left (x_{2},\, +\infty \right ) şi semn opus lui \displaystyle a pe intervalul \displaystyle \left (x_{1},\, x_{2} \right ) . Se poate spune că funcţia are semnul lui \displaystyle a în afara rădăcinilor şi semn opus lui \displaystyle a între rădăcini.

  • Dacă \displaystyle \Delta =0 , funcţia \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c are semnul lui \displaystyle a pe \displaystyle \mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{b}{2a} \right \} , iar \displaystyle f\left ( -\frac{b}{2a} \right )=0

 

  • Dacă \displaystyle \Delta <0 , funcţia \displaystyle f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c are semnul lui \displaystyle a oricare ar fi \displaystyle x\in \mathbb{R}