Ecuaţia de gradul I cu o necunoscută

Noţiuni generale

Egalitatea a două expresii algebrice se numeşte ecuaţie, dacă este adevărată numai pentru anumite valori atribuite literelor, sau identitate, dacă este adevărată pentru orice valori atribuite literelor.

Variabilele (literele) dintr-o ecuaţie se numesc necunoscute. O ecuaţie poate avea una sau mai multe necunoscute.

Acele valori ale necunoscutelor pentru care egalitatea este adevărată se numesc soluţii sau rădăcini ale ecuaţiei. A rezolva o ecuaţie presupune a afla soluţia (una sau mai multe) dintr-o mulţime specificată.

De regulă, mulţimea soluţiilor unei ecuaţii se notează cu \displaystyle S .

Dacă ecuaţia nu are nici o soluţie în mulţimea specificată, scriem \displaystyle S=\varnothing .

Dacă ecuaţia are o infinitate de soluţii, \displaystyle S este chiar mulţimea specificată.

Două ecuaţii care au aceeaşi mulţime de soluţii se numesc echivalente.

Pentru a aduce o ecuaţie de la o formă complexă la o formă simplă, uşor de rezolvat, se utilizează proprietăţile relaţiei de egalitate.

Proprietăţi ale relaţiei de egalitate

Dacă la membrii unei egalităţi adunăm sau scădem acelaşi număr, obţinem tot o egalitate.

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\: \end{matrix}\right|_{+c}\: \Rightarrow \: a+c=b+c

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\: \end{matrix}\right|_{-c}\: \Rightarrow \: a-c=b-c

Dacă înmulţim sau împărţim membrii unei egalităţi cu acelaşi număr, obţinem tot o egalitate (la împărţire, numărul trebuie să fie diferit de zero).

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\: \end{matrix}\right|_{\cdot c}\: \Rightarrow \: a\cdot c=b\cdot c

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\: \end{matrix}\right|_{:\, c}\: \Rightarrow \: a: c=b: c,\: c\neq 0

Relaţii între două egalităţi

Dacă adunăm, scădem, înmulţim sau împărţim, membru cu membru, două egalităţi, obţinem tot o egalitate.

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\\ c=d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: a+c=b+d

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\\ c=d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: a-c=b-d

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\\ c=d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: a\cdot c=b\cdot d

\displaystyle \left.\begin{matrix} a=b\\ c=d\\ c,\, d\neq 0 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \frac{a}{c}=\frac{b}{d}

Ecuaţia de gradul I cu o necunoscută

Ecuaţia de forma \displaystyle ax+b=0,\: a,b\in \mathbb{R},\: a\neq 0 se numeşte ecuaţie de gradul I cu necunoscuta \displaystyle x .

Pentru rezolvarea ecuaţiei se utilizează proprietăţile relaţiei de egalitate:

\displaystyle \left.\begin{matrix} ax+b=0\: \end{matrix}\right|_{-b}

\displaystyle \left.\begin{matrix} ax=-b\: \end{matrix}\right|_{:\, a}

\displaystyle x=-\frac{b}{a}

Dacă ecuaţia are o formă mai complexă, se rezolvă în următoarele etape:

  • se efectuează toate calculele care pot fi efectuate, în fiecare dintre membrii ecuaţiei.
  • se separă termenii care conţin necunoscuta într-un membru şi termenii care nu conţin necunoscuta în celălalt membru.
  • se efectuează din nou toate calculele posibile în fiecare dintre membrii ecuaţiei.
  • se determină necunoscuta şi se scrie mulţimea soluţiilor \displaystyle S , ţinând seama şi de mulţimea specificată, în care trebuie să fie situate soluţiile.