Integrale nedefinite

Primitive

Fie funcţiile \displaystyle F,\: f:I\rightarrow \mathbb{R}

Dacă funcţia \displaystyle f:I\rightarrow \mathbb{R} este continuă, atunci admite primitive.

Funcţia \displaystyle F\left ( x \right ) este o primitivă a funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) , dacă \displaystyle F\left ( x \right ) este derivabilă pe \displaystyle I şi \displaystyle {F}'\left ( x \right )=f\left ( x \right ) , pentru orice \displaystyle x\in I .

Primitivele unei funcţii diferă doar printr-o constantă.

Mulţimea primitivelor unei funcţii se numeşte integrala nedefinită a funcţiei \displaystyle f şi se notează \displaystyle \int f\left ( x \right )dx .

Prin urmare,

\displaystyle \int f\left ( x \right )dx=F\left ( x \right )+\textsl{C}

Operaţia de obţinere a primitivelor unei funcţii se numeşte integrare.

Proprietăţile integralei nedefinite

\displaystyle \int \left ( f\left ( x \right )+g\left ( x \right ) \right )dx=\int f\left ( x \right )dx+\int g\left ( x \right )dx

(integrala sumei este egală cu suma integralelor)

\displaystyle \int \alpha \cdot f\left ( x \right )dx=\alpha \cdot \int f\left ( x \right )dx

(constanta iese în faţa integralei)

Tabel de integrale nedefinite

1. \displaystyle \int dx=x+\textsl{C}
2. \displaystyle \int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\textsl{C}
3.

\displaystyle \int \frac{1}{x} dx=\ln \left |x \right |+\textsl{C}

\displaystyle \int \frac{1}{x\pm a} dx=\ln \left |x\pm a \right |+\textsl{C}

4. \displaystyle \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx=\sqrt{x}+\textsl{C}
5.

\displaystyle \int a^{x} dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+\textsl{C}

\displaystyle \int e^{x} dx=e^{x}+\textsl{C}

6. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} dx=\frac{1}{a}\textrm{arctg}\frac{x}{a} +\textsl{C},\; a\neq 0
7. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} dx=\frac{1}{2a}\ln \left | \frac{x-a}{x+a} \right | +\textsl{C},\; x\neq \pm a
8. \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx=\arcsin \frac{x}{a} +\textsl{C},\; x\neq \pm a
9. \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} dx=\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+a^{2}} \right ) +\textsl{C},\; a\neq 0
10. \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} dx=\ln \left |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}} \right | +\textsl{C},\; a\neq 0
11. \displaystyle \int \sin x\, dx=-\cos x +\textsl{C}
12. \displaystyle \int \cos x\, dx=\sin x +\textsl{C}
13. \displaystyle \int \textrm{tg}\, x\, dx=-\ln \left | \cos x \right | +\textsl{C},\; x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,\; k\in \mathbb{Z}
14. \displaystyle \int \textrm{ctg}\, x\, dx=\ln \left | \sin x \right | +\textsl{C},\; x\neq k\pi ,\; k\in \mathbb{Z}
15. \displaystyle \int \frac{1}{\sin ^{2}x} dx=-\textrm{ctg}\, x +\textsl{C},\; x\neq k\pi ,\; k\in \mathbb{Z}
16. \displaystyle \int \frac{1}{\cos ^{2}x} dx=\textrm{tg}\, x +\textsl{C},\; x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,\; k\in \mathbb{Z}