Paralelism şi perpendicularitate în spaţiu

Unghiul a două drepte necoplanare

Pentru a găsi măsura unghiului dintre două drepte necoplanare, trebuie să găsim sau să construim o paralelă la una dintre drepte, care să intersecteze cealaltă dreaptă.

\displaystyle e \parallel d_{1}\: \Rightarrow \: m\left ( \measuredangle \left ( d_{1},d_{2} \right ) \right )=m\left ( \measuredangle \left ( e,d_{2} \right ) \right )

O altă posibilitate este să găsim sau să construim paralele la ambele drepte care să treacă prin acelaşi punct.

\displaystyle \left.\begin{matrix} e\parallel d_{1}\\ f\parallel d_{2}\\ e\cap f=\left \{ O \right \} \end{matrix}\right\} \Rightarrow m\left ( \measuredangle \left ( d_{1},d_{2} \right ) \right )=m\left ( \measuredangle \left ( e,f \right ) \right )

Unghiul dintre o dreaptă şi un plan

Unghiul dintre o dreaptă şi un plan este unghiul dintre dreaptă şi proiecţia ei pe plan.

\displaystyle pr_{\alpha }AB=A'B' \Rightarrow m\left ( \measuredangle \left ( AB,\alpha \right ) \right )=m\left ( \measuredangle \left ( AB,A'B' \right ) \right )=m\left ( \measuredangle BAB' \right )

Proiecţia ortogonală a unui punct pe plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan.

Pentru a găsi proiecţia unei drepte este suficient să găsim proiecţiile pe plan a două puncte aparţinând dreptei.

Dreapta paralelă cu un plan

O dreaptă este paralelă cu un plan, dacă este paralelă cu o altă dreaptă, conţinută în acel plan.

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\parallel A'B'\\ A'B'\subset \alpha \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: AB\parallel \alpha

Dreapta perpendiculară pe un plan

O dreaptă este perpendiculară pe un plan, dacă este perpendiculară pe două drepte concurente conţinute în acel plan.

\displaystyle \left.\begin{matrix} d\perp e\\ d\perp f\\ e,f\subset \alpha ,\: e \nparallel f \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: d\perp \alpha

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci ea este perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în acel plan.

Plane paralele

Două plane sunt paralele, dacă unul dintre ele conţine două drepte concurente, ambele paralele cu cel de-al doilea plan.

Se demonstrează, mai întăi, paralelismul fiecărei drepte:

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\subset \alpha \\ AB\parallel A'B'\\ A'B'\subset \beta \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: AB\parallel \beta

\displaystyle \left.\begin{matrix} CD\subset \alpha \\ CD\parallel C'D'\\ C'D'\subset \beta \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: CD\parallel \beta

Apoi,

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB,CD\subset \alpha \\ AB\parallel \beta \\ CD\parallel \beta \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \alpha \parallel \beta

Plane perpendiculare

Un plan este perpendicular pe un alt plan, dacă include o dreaptă perpendiculară pe acel plan.

\displaystyle \left.\begin{matrix} d\perp \alpha \\ d\subset \beta \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \beta \perp \alpha

Unghiul a două plane

Unghiul a două plane (unghiul diedru) este unghiul format de două drepte, conţinute respectiv în cele două plane, care sunt perpendiculare, în acelaşi punct, pe muchia comună.

\displaystyle \left.\begin{matrix} \alpha \cap \beta =d \\ d_{1}\subset \beta;\: d_{1}\perp d\\ d_{2}\subset \alpha;\: d_{2}\perp d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: m\left ( \measuredangle \left ( \alpha ,\beta \right ) \right )=m\left ( \measuredangle \left ( d_{1},d_{2} \right ) \right )

Teorema „fierăstrăului”

Dacă două plane paralele sunt intersectate („tăiate”) de un al treilea plan, atunci dreptele de intersecţie sunt paralele.

\displaystyle \left.\begin{matrix} \alpha \parallel \beta\\ \alpha \cap \gamma =d_{1}\\ \beta \cap \gamma =d_{2} \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: d_{1}\parallel d_{2}

Teorema „acoperişului”

Dacă două drepte sunt paralele și se află în două plane secante, atunci ele sunt paralele cu dreapta de intersecţie a celor două plane.

\displaystyle \left.\begin{matrix} d_{1}\subset \alpha\\ d_{2}\subset \beta \\ d_{1}\parallel d_{2}\\ \alpha \cap \beta =d \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: d_{1}\parallel d_{2}\parallel d