Metoda de integrare prin părţi

Formula:

\displaystyle \int {f}'\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )dx=f\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )-\int f\left ( x \right )\cdot {g}'\left ( x \right )dx

Etape de lucru:

\displaystyle 1^{\circ} Se identifică funcţiile \displaystyle {f}'\left ( x \right ) şi \displaystyle g\left ( x \right ) .

\displaystyle 2^{\circ} Prin integrare se obţine \displaystyle f\left ( x \right )=\int {f}'\left ( x \right )dx . Prin derivare se determină \displaystyle {g}'\left ( x \right ) .

\displaystyle 3^{\circ} Se aplică formula de integrare prin părţi. Scopul aplicării formulei este obţinerea, în membrul drept al egalităţii, a unei integrale mai simplu de rezolvat.

Dacă este necesar, metoda integrării prin părţi poate fi aplicată de mai multe ori, succesiv.


Exemplu:

Să se calculeze integrala nedefinită

\displaystyle \int x^{2}\cos x\, dx

\displaystyle 1^{\circ} Se identifică funcţiile \displaystyle {f}'\left ( x \right ) şi \displaystyle g\left ( x \right ) .

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=\cos x

\displaystyle g\left ( x \right )=x^{2}

\displaystyle 2^{\circ} Se calculează

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=\cos x\: \Rightarrow \: f\left ( x \right )=\int\cos x\, dx=\sin x

\displaystyle g\left ( x \right )=x^{2}\: \Rightarrow \: {g}'\left ( x \right )=2x

\displaystyle 3^{\circ} Se aplică formula de integrare prin părţi:

\displaystyle \int x^{2}\cdot \cos x\, dx=x^{2}\cdot \sin x-2\underset{I_{1}}{\underbrace{\int x\cdot \sin x\, dx}}=x^{2}\cdot \sin x-2I_{1}

Se aplică încă o dată metoda de integrare prin părţi, pentru a calcula integrala  \displaystyle I_{1}

\displaystyle I_{1}=\int x\cdot \sin x\, dx

\displaystyle 1^{\circ} Se identifică funcţiile:

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=\sin x

\displaystyle g\left ( x \right )=x

\displaystyle 2^{\circ} Se calculează:

\displaystyle {f}'\left ( x \right )=\sin x\: \Rightarrow \: f\left ( x \right )=\int \sin x\, dx=-\cos x

\displaystyle g\left ( x \right )=x\: \Rightarrow \: {g}'\left ( x \right )=1

\displaystyle 3^{\circ} Se aplică formula de integrare prin părţi:

\displaystyle I_{1}=\int x\cdot \sin x\, dx=-x\cdot \cos x-\int \left ( -\cos x \right )dx=-x\cdot \cos x+\sin x

Se înlocuieşte \displaystyle I_{1} în expresia integralei iniţiale:

\displaystyle \int x^{2}\cdot \cos x\, dx=x^{2}\cdot \sin x-2I_{1}=x^{2}\cdot \sin x-2\left ( -x\cdot \cos x + \sin x\right )

şi se obţine, în final,

\displaystyle \int x^{2}\cdot \cos x\, dx=x^{2}\cdot \sin x+2x\cdot \cos x-2 \sin x+\textsl{C}