Fracţii ordinare

O pereche de numere naturale \displaystyle \left ( a, b \right ),\: b\neq 0 , scrisă sub forma \displaystyle \frac{a}{b} , se numeşte fracţie. Fracţia ordinară \displaystyle \frac{a}{b}=a:b poate fi considerată un cât neefectuat.

Numitorul \displaystyle b,\: b\neq 0 , arată în câte părţi egale a fost împărţit întregul, iar numărătorul \displaystyle a , câte părţi s-au luat în considerare.

O fracţie \displaystyle \frac{a}{b} se numeşte subunitară dacă este mai mică decât un întreg. În acest caz, numărătorul este mai mic decât numitorul.

\displaystyle \frac{a}{b}< 1\: \Leftrightarrow \: a< b

O fracţie \displaystyle \frac{a}{b} se numeşte echiunitară dacă este egală cu un întreg. În acest caz, numărătorul este egal cu numitorul.

\displaystyle \frac{a}{b}= 1\: \Leftrightarrow \: a= b

O fracţie \displaystyle \frac{a}{b} se numeşte supraunitară dacă este mai mare decât un întreg. În acest caz, numărătorul este mai mare decât numitorul.

\displaystyle \frac{a}{b}> 1\: \Leftrightarrow \: a> b

Scoaterea întregilor din fracţia supraunitară

Fie fracţia supraunitară

\displaystyle \frac{a}{b}> 1

Pentru a scoate întregii din fracţie se împarte numărătorul la numitor cu rest:

\displaystyle a:b=c\: \textrm{rest}\: r

Scriind \displaystyle a=b\cdot c+r , se obţine

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b\cdot c+r}{b}=\frac{b\cdot c}{b}+\frac{r}{b}=c+\frac{r}{b}

Prin urmare, se scrie:

\displaystyle \frac{a}{b}=c\frac{r}{b}

Introducerea întregilor în fracţie

Pentru a introduce întregii în fracţie, se înmulţesc întregii cu numitorul, apoi la rezultatul obţinut se adaugă numărătorul.

\displaystyle c\frac{r}{b}=\frac{c\cdot b+r}{b}=\frac{a}{b}

Fracţii echivalente

Două fracţii se numesc echivalente (egale) dacă reprezintă aceeaşi parte dintr-un întreg.

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}    dacă   \displaystyle a\cdot d=b\cdot c

Se pot obţine fracţii echivalente prin amplificare sau prin simplificare.

Pentru a amplifica o fracţie, se înmulţesc, atât numărătorul, cât şi numitorul, cu acelaşi număr.

\displaystyle \begin{matrix} ^{\left . n \right )}\\ { } \end{matrix}\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}

Pentru a simplifica o fracţie, se împart, dacă este posibil, atât numărătorul, cât şi numitorul, la acelaşi număr.

\displaystyle \frac{a}{b} \begin{matrix} ^{\left ( n \right .}\\ { } \end{matrix}=\frac{a : n}{b : n}

Fracţia care poate fi simplificată se numeşte reductibilă. Numărătorul şi numitorul au cel puţin un divizor comun.

În caz contrar, fracţia se numeşte ireductibilă, iar numărătorul şi numitorul sunt prime între ele, \displaystyle \left ( a,b \right )=1 .

Compararea fracţiilor ordinare

Dacă două fracţii au acelaşi numitor, este mai mare cea cu numărătorul mai mare.

Dacă două fracţii au acelaşi numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic.

Dacă fracţiile au şi numărătorul şi numitorul diferite, se efectuează produsele pe diagonală:

\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d} dacă \displaystyle a\cdot d<b\cdot c

\displaystyle \frac{a}{b}>\frac{c}{d} dacă \displaystyle a\cdot d>b\cdot c