Determinarea distanţelor. Teorema celor trei perpendiculare.

Distanţa de la un punct la o dreaptă este egală cu lungimea segmentului care uneşte punctul cu piciorul perpendicularei duse din punct pe dreaptă.

Distanţa de la un punct la un plan este egală cu lungimea segmentului care uneşte punctul cu piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.

Determinarea distanţei de la un punct la o dreaptă în spaţiu

Fie dreapta \displaystyle AB inclusă în planul \displaystyle \alpha şi un punct \displaystyle P situat în exteriorul planului \displaystyle \alpha .

Pentru a găsi distanţa de la punctul \displaystyle P la dreapta \displaystyle AB :

\displaystyle 1^{\circ} Ducem perpendiculara din punctul \displaystyle P pe planul \displaystyle \alpha . Fie \displaystyle Q punctul în care prima perpendiculară înţeapă planul.

\displaystyle 2^{\circ} Din punctul \displaystyle Q ducem a doua perpendiculară, pe dreapta \displaystyle AB , în punctul \displaystyle R .

\displaystyle 3^{\circ} Unim punctul \displaystyle P cu punctul \displaystyle R .

Dreapta \displaystyle PR este perpendiculară pe dreapta \displaystyle AB , iar distanţa de la punctul \displaystyle P la dreapta \displaystyle AB este egală cu lungimea segmentului \displaystyle PR .

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\subset \alpha \\ PQ\perp \alpha \\ QR\perp AB \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: PR\perp AB\: \Rightarrow \: d\left ( P,\: AB \right )=PR

Determinarea distanţei de la un punct la un plan

Fie planul \displaystyle \left ( PAB \right ) şi planul \displaystyle \alpha , secante, a căror intersecţie este dreapta \displaystyle AB . Punctul \displaystyle Q este inclus în planul \displaystyle \alpha .

Pentru a găsi distanţa de la punctul \displaystyle Q la planul \displaystyle \left ( PAB \right ) :

\displaystyle 1^{\circ} Ducem perpendiculara din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle AB . Fie \displaystyle R piciorul acestei perpendiculare.

\displaystyle 2^{\circ} Din \displaystyle R ridicăm a doua perpendiculară pe dreapta \displaystyle AB , astfel încât aceasta să fie inclusă în planul \displaystyle \left ( PAB \right ) . Presupunem că perpendiculara ridicată este \displaystyle PR .

\displaystyle 3^{\circ} Ducem o perpendiculară din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle PR . Fie \displaystyle T piciorul perpendicularei duse din \displaystyle Q pe dreapta \displaystyle PR .

Dreapta \displaystyle QT este perpendiculară pe planul \displaystyle \left ( PAB \right ) , iar distanţa de la punctul \displaystyle Q la planul \displaystyle \left ( PAB \right ) este egală cu lungimea segmentului \displaystyle QT .

\displaystyle \left.\begin{matrix} AB\subset \alpha \\ QR\perp AB\\ PR\perp AB\\ QT\perp PR \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: QT\perp \left ( PAB \right )\: \Rightarrow \: d\left ( Q,\: \left ( PAB \right ) \right )=QT