Expresii algebrice raţionale. Domeniul de definiţie

Un raport în care termenii sunt expresii algebrice se numeşte expresie algebrică raţională sau raport algebric.

Este posibil ca pentru anumite valori ale necunoscutelor numitorul să devină egal cu zero. Se spune ca raportul nu are sens sau nu este bine definit pentru valorile respective.

Se numeşte domeniu de definiţie al expresiei algebrice mulţimea tuturor valorilor necunoscutelor pentru care expresia are sens.

Exemplu:

Fie expresia \displaystyle E\left ( x \right )=\frac{x\left ( x+5 \right )}{x^{3}+5x^{2}+6x} .

Pentru ca expresia \displaystyle E\left ( x \right ) să aibă sens, trebuie ca numitorul acesteia să fie diferit de zero.

\displaystyle x^{3}+5x^{2}+6x\neq 0

Se descompune numitorul în factori ireductibili:

\displaystyle \begin{aligned} x^{3}+5x^{2}+6x &= x\left ( x^{2}+5x+6 \right )\\ &=x\left ( x^{2}+2x+3x+6 \right ) \\ &=x\left [ x\left ( x+2 \right ) +3\left ( x+2 \right ) \right ] \\ &=x\left ( x+2 \right ) \left ( x+3 \right ) \end{aligned}

Pentru ca numitorul să fie diferit de zero, toţi factorii acestuia trebuie să fie diferiţi de zero. Se obţine:

\displaystyle x\neq 0

\displaystyle x+2\neq 0\: \Rightarrow \: x\neq -2

\displaystyle x+3\neq 0\: \Rightarrow \: x\neq -3

Prin urmare, expresia are sens dacă

\displaystyle x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ -3;\: -2;\: 0 \right \}

Cu alte cuvinte, domeniul de definiţie al expresiei \displaystyle E\left ( x \right ) este mulţimea

\displaystyle D= \mathbb{R}\setminus \left \{ -3;\: -2;\: 0 \right \}