Simplificarea expresiilor algebrice

Pentru calculele cu rapoarte algebrice trebuie respectate aceleaşi reguli ca şi în cazul fracţiilor ordinare.

  • Adunarea rapoartelor algebrice se poate face numai dacă au acelaşi numitor. Dacă rapoartele algebrice au numitori diferiţi, se află numitorul comun, apoi rapoartele se aduc la acelaşi numitor prin amplificare.
  • Produsul a două rapoarte algebrice este egal cu produsul numărătorilor supra produsul numitorilor.
  • Împărţirea la un raport algebric se efectuează prin înmulţirea cu raportul inversat.
  • Pentru a ridica la putere un raport algebric, se ridică la aceeaşi putere, separat, atât numărătorul, cât şi numitorul.
  • Întotdeauna trebuie respectată ordinea efectuării operaţiilor.

 

Exemplu:

Să se aducă la forma cea mai simplă expresia

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{x^{2}-10x+21}-\frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{x^{2}-9}

Mai întâi se descompun în factori toate elementele expresiei care se pot descompune.

\displaystyle \begin{aligned} x^{2}-10x+21 &=x^{2}-3x-7x+21 \\ &=x\left ( x-3 \right )-7\left ( x-3 \right ) \\ &=\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right ) \end{aligned}

\displaystyle x^{2}-9=\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )

Expresia devine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}-\frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se efectuează calculul din paranteză, aducând rapoartele la acelaşi numitor:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( \frac{2x^{2}-7x-17}{\left ( x-3 \right ) \left ( x-7 \right )} - \begin{matrix} ^{\left . x-3 \right )}\\ { } \end{matrix} \frac{x+1}{x-7} \right ):\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{2x^{2}-7x-17-\left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se efectuează calculele de la numărătorul primului raport şi se reduc termenii asemenea:

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{2x^{2}-7x-17-x^{2}+3x-x+3}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{x^{2}-5x-14}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}:\frac{1}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}

Se observă că numărătorul primului raport se poate descompune în factori:

\displaystyle \begin{aligned} x^{2}-5x-14 &=x^{2}-7x+2x-14 \\ &=x\left ( x-7 \right )+2\left ( x-7 \right ) \\ &=\left ( x-7 \right ) \left ( x+2 \right ) \end{aligned}

Se înlocuieşte numărătorul primului raport cu descompunerea sa în factori, iar pentru a efectua împărţirea, se înmulţeşte primul raport cu inversul celui de-al doilea:

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{\left ( x-7 \right )\left ( x+2 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x-7 \right )}\cdot \left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )

După efectuarea tuturor simplificărilor, se obţine:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x+2 \right )\left ( x+3 \right )