Asimptote verticale

Dreapta verticală a cărei ecuaţie este \displaystyle x=a este asimptotă verticală la graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) , dacă cel puţin una dintre limitele \displaystyle l_{s}\left ( a \right ) sau \displaystyle l_{d}\left ( a \right ) există şi este egală cu \displaystyle +\infty sau \displaystyle -\infty .

Asimptotele verticale pot fi găsite în punctele care nu sunt incluse în domeniul de definiţie, dar sunt puncte de acumulare ale acestuia.

Exemplul 1:

Se consideră funcţia \displaystyle f:D\rightarrow \mathbb{R},\: f\left ( x \right )=\frac{x}{\left | x-3 \right |} .

Din condiţia \displaystyle \left | x-3 \right |\neq 0 , se obţine domeniul maxim de definiţie al funcţiei \displaystyle D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \} .

Căutăm asimptota verticală în \displaystyle x=3 . Se calculează limitele, atât la stânga, cât şi la dreapta:

\displaystyle \lim_{\substack {x \to 3 \\ x < 3}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to 3 \\ x < 3}}\frac{x}{\left | x-3 \right |}=\frac{3}{0_{+}}=+\infty

\displaystyle \lim_{\substack {x \to 3 \\ x > 3}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to 3 \\ x > 3}}\frac{x}{\left | x-3 \right |}=\frac{3}{0_{+}}=+\infty

Rezultă că dreapta de ecuaţie \displaystyle x=3 este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) .

În plus, se poate observa că, atât în stânga asimptotei, cât şi în dreapta acesteia, graficul funcţiei „se duce” către \displaystyle +\infty .

Exemplul 2:

Se consideră funcţia \displaystyle f:D\rightarrow \mathbb{R},\: f\left ( x \right )=\frac{x-1}{\sqrt{x+2}}

Din condiţia \displaystyle x+2>0 , se obţine domeniul maxim de definiţie al funcţiei \displaystyle D=\left ( -2,\: +\infty \right ) .

Căutăm asimptota verticală în \displaystyle x=-2 . Deoarece \displaystyle x>-2 , se calculează numai limita la dreapta:

\displaystyle \lim_{\substack {x \to -2 \\ x>-2}}f\left ( x \right )=\lim_{\substack {x \to -2 \\ x>-2}}\frac{x-1}{\sqrt{x+2}}=\frac{-3}{0_{+}}=-\infty

Dreapta de ecuaţie \displaystyle x=-2 este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei \displaystyle f\left ( x \right ) . Graficul, situat în dreapta asimptotei, „se duce” către \displaystyle -\infty .