Ecuaţii iraţionale

Ecuaţia în care necunoscuta este situată sub cel puţin un radical se numeşte ecuaţie iraţională.

Etape de rezolvare:

\displaystyle 1^{\circ}  Stabilirea domeniului de existenţă.

Expresia de sub radicalul de ordin par trebuie să fie pozitivă, În plus, dacă radicalul de ordin par este situat la numitor, expresia trebuie să fie strict pozitivă.

După stabilirea condiţiilor de existenţă pentru toţi radicalii prezenţi în ecuaţie, se obţine domeniul de existenţă prin intersectarea tuturor intervalelor obţinute.

\displaystyle 2^{\circ} Condiţii de compatibilitate

Un radical de ordin par, care este întotdeauna un număr pozitiv, nu poate fi egal cu un număr negativ.

\displaystyle 3^{\circ} Eliminarea radicalilor

Se ridică ambii membri ai ecuaţiei la puteri convenabile, eventual de mai multe ori succesiv, pentru a transforma ecuaţia iraţională într-o ecuaţie polinomială.

\displaystyle 4^{\circ} Verificarea soluţiilor obţinute

Pentru a fi convenabile, soluţiile obţinute prin rezolvarea ecuaţiei polinomiale trebuie să aparţină domeniului de existenţă al ecuaţiei.

În plus, soluţiile se verifică şi prin înlocuirea în ecuaţia iniţială, pentru a exclude eventualele „soluţii străine”, apărute în urma ridicării la putere.


Exemplu:

\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-1}-1

Se pun condiţiile de existenţă pentru cei trei radicali:

\displaystyle x+1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq -1\: \Rightarrow \: x\in \left [ -1,\, +\infty \right )

\displaystyle x-1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq 1\: \Rightarrow \: x\in \left [ 1,\, +\infty \right )

\displaystyle 2x-1\geq 0\: \Rightarrow \: x\geq \frac{1}{2}\: \Rightarrow \: x\in \left [ \frac{1}{2},\, +\infty \right )

Domeniul de definiţie se obţine intersectând cele trei intervale:

\displaystyle D=\left [ 1,\, +\infty \right )

Se elimină radicalii prin ridicări succesive la puterea a doua:

\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-1}-1\: |\: ^{2}

\displaystyle x+1-2\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}+x-1=2x-1-2\sqrt{2x-1}+1

\displaystyle \sqrt{\left ( x^{2}-1 \right )}=\sqrt{2x-1}\: |\: ^{2}

\displaystyle x^{2}-1=2x-1

\displaystyle x^{2}-2x=0

Se obţin soluţiile \displaystyle x_{1}=0\notin D şi \displaystyle x_{2}=2 \in D care, în plus, verifică ecuaţia iniţială.

Prin urmare, mulţimea soluţiilor este \displaystyle S=\left \{ 2 \right \} .