Ecuaţii polinomiale de gradul 1 sau 2. Ecuaţii bipătrate

Ecuaţiile polinomiale au forma generală

\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,\; a_{n}\neq 0

în care \displaystyle x este variabila, \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*} , iar \displaystyle a_{n},\: a_{n-1},\:\dots a_{2},\:a_{1},\:a_{0} se numesc coeficienţii ecuaţiei.

Dintre coeficienţi, \displaystyle a_{n} este coeficientul dominant, iar \displaystyle a_{0} se numeşte termenul liber.

Gradul ecuaţiei este egal cu exponentul cel mai mare.

O ecuaţie de gradul \displaystyle n are \displaystyle n soluţii, reale sau complexe, care pot fi distincte sau nu.

Ecuaţia de gradul întâi

Ecuaţia de gradul întâi are forma

\displaystyle ax+b=0,\; x\in D\subset \mathbb{R}, \; a,b\in \mathbb{R}

Rezolvarea ecuaţiei de gradul întâi:

  • dacă \displaystyle a\neq 0 , ecuaţia are soluţie unică \displaystyle x=-\frac{b}{a} , respectiv \displaystyle S=\left \{ -\frac{b}{a} \right \}
  • dacă \displaystyle a=0,\: b=0 , ecuaţia are o infinitate de soluţii, iar \displaystyle S=\mathbb{R}
  • dacă \displaystyle a=0,\: b\neq 0 , ecuaţia nu are soluţii, prin urmare \displaystyle S=\varnothing

Exemplu:

Determinaţi valorile parametrului \displaystyle m\in \mathbb{R} , astfel încât ecuaţia următoare să aibă o infinitate de soluţii reale.

\displaystyle mx+4=3\left ( x-1 \right )+2m+1

Se trec toţi termenii în membrul din stânga al ecuaţiei şi se ordonează expresia după puterile lui \displaystyle x :

\displaystyle mx+4-3\left ( x-1 \right )-2m-1=0

\displaystyle mx+4-3x+3-2m-1=0

\displaystyle x\left ( m-3 \right )-2m+6=0

Se observă că se poate da factor comun:

\displaystyle x\left ( m-3 \right )-2\left ( m-3 \right )=0

\displaystyle \left ( m-3 \right )\left ( x-2 \right )=0

Ecuaţia are o infinitate de soluţii reale dacă \displaystyle m-3=0 .

Se obţine \displaystyle m=3 .


Ecuaţia de gradul al doilea

Ecuaţia de gradul al doilea are forma

\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\; a\neq 0

Pentru rezolvarea ecuaţiei se calculează, mai întâi, discriminantul \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac .

  • dacă \displaystyle \Delta >0 , ecuaţia are două soluţii reale distincte

\displaystyle x_{1},\: x_{2}\in \mathbb{R}, \; x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

  • dacă \displaystyle \Delta =0 , ecuaţia are două soluţii reale egale între ele

\displaystyle x_{1},\: x_{2}\in \mathbb{R}, \; x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}

  • dacă \displaystyle \Delta <0 , ecuaţia nu are soluţii reale, ci are două soluţii complexe conjugate

\displaystyle z_{1},\: z_{2}\in \mathbb{C}, \; z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left |\Delta \right | }}{2a}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia

\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0

Se identifică cei trei coeficienţi ai ecuaţiei:

\displaystyle a=2;\; b=-5;\; c=2

Se calculează discriminantul

\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=\left ( -5 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot 2=9

\displaystyle \sqrt{\Delta} =3>0

Ecuaţia are două soluţii reale distincte:

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5\pm 3}{4}\: \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=2\\ x_{2}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este \displaystyle S=\left \{ \frac{1}{2};\: 2 \right \}


Ecuaţii bipătrate

Se numeşte ecuaţie bipătrată ecuaţia de gradul al patrulea având forma:

\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0,\; a\neq 0

Pentru rezolvarea ecuaţiei se notează \displaystyle x^{2}=t , obţinându-se astfel ecuaţia de gradul al doilea

\displaystyle at^{2}+bt+c=0

cu soluţiile

\displaystyle t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a},\; \Delta =b^{2}-4ac

Pentru fiecare valoare a lui \displaystyle t , se rezolvă ecuaţia \displaystyle x^{2}=t şi se obţin soluţiile ecuaţiei bipătrate:

\displaystyle x_{1,2}=\pm \sqrt{t_{1}}

\displaystyle x_{3,4}=\pm \sqrt{t_{2}}


Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia:

\displaystyle x^{4}+4x^{2}-5=0

Se notează \displaystyle x^{2}=t şi se obţine ecuaţia de gradul al doilea

\displaystyle t^{2}+4t-5=0

cu soluţiile \displaystyle t_{1}=1 şi \displaystyle t_{2}=-5 .

În concluzie, ecuaţia dată are două soluţii reale \displaystyle x_{1,2}\in \mathbb{R} ,

\displaystyle x_{1,2}=\pm \sqrt{1}\: \Rightarrow \: x_{1,2}=\pm 1

şi două soluţii complexe \displaystyle x_{3,4}\in \mathbb{C} :

\displaystyle x_{3,4}=\pm \sqrt{-5}\: \Rightarrow \: x_{3,4}=\pm i\sqrt{5} , unde  \displaystyle i=\sqrt{-1}