Vectori. Operaţii cu vectori

Segment orientat

Se numeşte vector sau segment orientat o pereche ordonată de puncte \displaystyle \left ( A,B \right ) , care se notează \displaystyle \overrightarrow{AB} . \displaystyle A se numeşte originea vectorului, iar \displaystyle B , extremitatea sa.

Un vector este caracterizat de:

  • mărime (lungime sau modul)
  • direcţie
  • sens

Doi vectori care au aceeaşi lungime, aceeaşi direcţie şi acelaşi sens se numesc echipolenţi sau egali.

Doi vectori se numesc opuşi care au aceeaşi lungime şi aceeaşi direcţie, dar au sensuri opuse.

Operaţii cu vectori

Adunarea vectorilor

Regula paralelogramului Regula triunghiului
Regula poligonului Diferenţa a doi vectori

Descompunerea unui vector după două direcţii date

Pentru a descompune un vector după două direcţii date, se duc paralele la ambele direcţii, atât prin originea vectorului, cât şi prin vârful acestuia, formând astfel un paralelogram.

Compunentele vectorului după cele două direcţii sunt vectorii care au aceeaşi origine cu vectorul dat şi care se suprapun peste laturile paralelogramului.

Înmulţirea unui vector cu un scalar

Prin înmulţirea unui vector cu un scalar, \displaystyle k , se obţine un alt vector, care are aceeaşi direcţie şi acelaşi sens cu vectorul dat, dar are lungimea de \displaystyle k ori mai mare (sau mai mică).

În cazul în care \displaystyle k este negativ, sensul vectorului obţinut se schimbă.

Produsul scalar a doi vectori

Produsul scalar a doi vectori care fac între ei unghiul \displaystyle \alpha este un scalar (un număr), care se poate determina cu formula:

\displaystyle \vec{u}\cdot \vec{v}=\left | \vec{u}\, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right |\cdot \cos \alpha

Unghiul format de vectorii \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} se poate determina cu relaţia:

\displaystyle \cos \left ( \measuredangle \left ( \vec{u},\vec{v} \right ) \right )=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left | \vec{u}\, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right | }

Produsul vectorial a doi vectori

Produsul vectorial a doi vectori care fac între ei unghiul \displaystyle \alpha este tot un vector, perpendicular pe planul format de vectorii consideraţi.

Sensul vectorului obţinut este dat de regula mâinii drepte, iar modulul acestuia se poate determina cu formula:

\displaystyle \left | \vec{u}\times \vec{v}\, \right |=\left | \vec{u} \, \right |\cdot \left | \vec{v}\, \right |\cdot \sin \alpha

Produsul vectorial a doi vectori Regula mâinii drepte