Teorema lui Menelaus. Teorema lui Ceva

Fie triunghiul \displaystyle ABC . O dreaptă \displaystyle d , care nu trece prin vârfuri, intersectează laturile \displaystyle \left [AB \right ] , \displaystyle \left [AC \right ] şi prelungirea laturii \displaystyle \left [BC \right ] în punctele \displaystyle {C}' , \displaystyle {B}' , respectiv \displaystyle {A}' . În acest caz, are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

Reciproca Teoremei lui Menelaus

Pe laturile \displaystyle \left ( AB \right ) şi \displaystyle \left ( AC \right ) ale triunghiului \displaystyle ABC se iau punctele \displaystyle {C}' şi \displaystyle {B}' , iar pe dreapta \displaystyle BC se ia punctul \displaystyle {A}' , astfel încât \displaystyle C \in \left ( B{A}' \right ) . Dacă are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

atunci punctele \displaystyle {A}' , \displaystyle {B}' şi \displaystyle {C}' sunt coliniare.

Teorema lui Ceva

Se consideră triunghiul \displaystyle ABC şi punctele \displaystyle {A}' \in \left ( BC \right ) , \displaystyle {B}' \in \left ( AC \right ) şi \displaystyle {C}' \in \left ( AB \right ) . Dacă dreptele \displaystyle A{A}' , \displaystyle B{B}' şi \displaystyle C{C}' sunt concurente, atunci are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

Reciproca Teoremei lui Ceva

Fie triunghiul \displaystyle ABC şi punctele \displaystyle {A}' \in \left ( BC \right ) , \displaystyle {B}' \in \left ( AC \right ) şi \displaystyle {C}' \in \left ( AB \right ) . Dacă are loc egalitatea

\displaystyle \frac{{A}'B}{{A}'C} \cdot \frac{{B}'C}{{B}'A} \cdot \frac{{C}'A}{{C}'B}=1

atunci dreptele \displaystyle A{A}' , \displaystyle B{B}' şi \displaystyle C{C}' sunt concurente.