Vectori în sistemul cartezian

Exprimarea analitică a unui vector în sistemul ortogonal

În sistemul ortogonal \displaystyle xOy se consideră vectorii de lungime egală cu unitatea, \displaystyle \vec{i} şi \displaystyle \vec{j} , ale căror drepte suport sunt axele \displaystyle Ox , respectiv \displaystyle Oy .

Vectorii \displaystyle \vec{i} şi \displaystyle \vec{j} se numesc versori.

Vectorul \displaystyle \vec{v} din planul \displaystyle xOy se poate descompune după direcţiile axelor \displaystyle Ox şi \displaystyle Oy , astfel încât se poate scrie:

\displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}

Numerele \displaystyle v_{x} şi \displaystyle v_{y} se numesc coordonatele vectorului \displaystyle \vec{v} în sistemul cartezian \displaystyle xOy . Vectorul \displaystyle \vec{v} se mai poate scrie \displaystyle \vec{v}\left ( v_{x},v_{y} \right ) .

Lungimea vectorului \displaystyle \vec{v} este:

\displaystyle \left | \vec{v}\, \right |=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}

Doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt egali dacă şi numai dacă au coordonatele egale:

\displaystyle \vec{u}=\vec{v}\; \Leftrightarrow \; u_{x}=v_{x} şi \displaystyle u_{y}=v_{y}

Operaţii cu vectori în sistemul cartezian

Fie vectorii:

\displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j}

\displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}

Suma, respectiv diferenţa vectorilor \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} vor fi:

\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=\left ( u_{x}+v_{x} \right )\vec{i}+\left ( u_{y}+v_{y} \right )\vec{j}

\displaystyle \vec{u}-\vec{v}=\left ( u_{x}-v_{x} \right )\vec{i}+\left ( u_{y}-v_{y} \right )\vec{j}

Înmulţirea unui vector cu un scalar:

\displaystyle k\cdot \vec{v}=\left ( kv_{x} \right )\vec{i}+\left ( kv_{y} \right )\vec{j}

Produsul scalar al vectorilor \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} :

\displaystyle \vec{u}\cdot \vec{v}=u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}

În sistemul cartezian, unghiul format de vectorii \displaystyle \vec{u} şi \displaystyle \vec{v} se poate determina cu relaţia:

\displaystyle \cos \left ( \measuredangle \left ( \vec{u},\vec{v} \right ) \right )=\frac{u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y}}{\sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}\cdot \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

Vectorul de poziţie al unui punct

Vectorul care uneşte originea sistemului cartezian, \displaystyle O\left ( 0,0 \right ) , cu punctul \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) se numeşte vectorul de poziţie al punctului \displaystyle A .

\displaystyle \overrightarrow{OA}=x_{A}\vec{i}+y_{A}\vec{j}

Dacă \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) şi \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) sunt două puncte în sistemul cartezian\displaystyle xOy , atunci vectorul \displaystyle \overrightarrow{AB} are coordonatele \displaystyle \left ( x_{B}-x_{A} \right ) , respectiv \displaystyle \left ( y_{B}-y_{A} \right ) :

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\left ( x_{B}-x_{A} \right )\vec{i}+\left ( y_{B}-y_{A} \right )\vec{j}

Lungimea vectorului \displaystyle \overrightarrow{AB} este

\displaystyle \left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{\left ( x_{B}-x_{A} \right )^2+\left ( y_{B}-y_{A} \right )^2}

Coliniaritate. Concurenţă. Paralelism

Doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt coliniari sau paraleli dacă există un număr real \displaystyle \lambda , astfel încât:

\displaystyle \vec{u}=\lambda \cdot \vec{v}

Prin urmare, condiţia de coliniaritate a doi vectori este:

\displaystyle \left.\begin{matrix} u_{x}=\lambda\cdot v_{x}\\ u_{y}=\lambda\cdot v_{y} \end{matrix}\right\} \: \Leftrightarrow \; \frac{u_{x}}{v_{x}}=\frac{u_{y}}{v_{y}}

Trei puncte, \displaystyle A\left ( x_{A},y_{A} \right ) , \displaystyle B\left ( x_{B},y_{B} \right ) şi \displaystyle C\left ( x_{C},y_{C} \right ) din sistemul cartezian sunt coliniare dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{AB} şi \displaystyle \overrightarrow{AC} sunt coliniari, respectiv:

\displaystyle \frac{x_{B}-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y_{B}-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}

Două drepte, \displaystyle AB şi \displaystyle CD , sunt paralele dacă şi numai dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{AB} şi \displaystyle \overrightarrow{CD} sunt paraleli, respectiv dacă există \displaystyle \lambda \in \mathbb{R} , astfel încât \displaystyle \overrightarrow{AB}=\lambda \cdot \overrightarrow{CD} .

Trei drepte, \displaystyle AB , \displaystyle CD şi \displaystyle EF sunt concurente dacă punctul \displaystyle P de intersecţie al dreptelor \displaystyle AB şi \displaystyle CD este situat pe dreapta \displaystyle EF , respectiv dacă vectorii \displaystyle \overrightarrow{EP} şi \displaystyle \overrightarrow{FP} sunt coliniari.

Perpendicularitate

Dacă doi vectori \displaystyle \vec{u}=u_{x}\vec{i}+u_{y}\vec{j} şi \displaystyle \vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j} sunt perpendiculari, atunci produsul lor scalar este nul.

\displaystyle \vec{u}\perp \vec{v}\; \Rightarrow \; \vec{u} \cdot \vec{v}=\left | \vec{u}\, \right | \cdot \left | \vec{v}\, \right | \cdot \cos {\frac{\pi}{2}}=0

Prin urmare, condiţia ca doi vectori să fie perpendiculari esta ca produsul lor scalar să fie egal cu zero.

\displaystyle \vec{u}\perp \vec{v}\; \Leftrightarrow \; u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}=0

Vectori liniari independenţi

Vectorii \displaystyle \vec{v}_{1},\: \vec{v}_{2},\: \ldots, \: \vec{v}_{n} se numesc liniar independenţi dacă:

\displaystyle a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+ \ldots + a_{n}\vec{v}_{n}=0 \;\Leftrightarrow \; a_{1}=a_{2}= \cdots =a_{n}=0

Dacă \displaystyle a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+ \ldots + a_{n}\vec{v}_{n}=0 , iar scalarii \displaystyle a_{1}, \, a_{2}, \, \ldots , \, a_{n} nu sunt toţi nuli, atunci vectorii se numesc liniari dependenţi.