Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Rezolvarea triunghiului dreptunghic presupune determinarea tuturor elementelor sale (laturi şi unghiuri), atunci când se cunosc minimum două dintre ele.

Fie triunghiul dreptunghic \displaystyle ABC , având \displaystyle m\left ( \measuredangle A \right )=90^{\circ} .

Pentru unghiul notat cu \displaystyle x , se definesc funcţiile trigonometrice:

\displaystyle \sin \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta opus\u{a}}}{\textrm{ipotenuz\u{a}}}=\frac{c_{1}}{ip}

\displaystyle \cos \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}{\textrm{ipotenuz\u{a}}}=\frac{c_{2}}{ip}

\displaystyle \textrm{tg} \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta opus\u{a}}}{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}

\displaystyle \textrm{ctg} \left ( x \right )=\frac{\textrm{cateta al\u{a}turat\u{a}}}{\textrm{cateta opus\u{a}}}=\frac{c_{2}}{c_{1}}

Valorile funcţiilor trigonometrice pentru unghiurile întâlnite cel mai des:

\displaystyle x

în grade şi radiani

\displaystyle 0^{\circ}=0 \displaystyle 30^{\circ}=\frac{\pi}{6} \displaystyle 45^{\circ}=\frac{\pi}{4} \displaystyle 60^{\circ}=\frac{\pi}{3} \displaystyle 90^{\circ}=\frac{\pi}{2}
\displaystyle \sin \left ( x \right ) \displaystyle 0 \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle 1
\displaystyle \cos \left ( x \right ) \displaystyle 1 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle 0
\displaystyle \textrm{tg} \left ( x \right ) \displaystyle 0 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \displaystyle 1 \displaystyle \sqrt{3} \displaystyle -
\displaystyle \textrm{ctg} \left ( x \right ) \displaystyle - \displaystyle \sqrt{3} \displaystyle 1 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \displaystyle 0

În triunghiul dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei

\displaystyle m=\frac{ip}{2}

iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu produsul lungimilor catetelor supra lungimea ipotenuzei

\displaystyle h=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ip}

Mijlocul ipotenuzei, \displaystyle M , reprezintă, în acelaşi timp, şi centrul cercului circumscris triunghiului \displaystyle ABC .

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=ip^{2}

Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egal cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.