Metoda inducţiei matematice

Metoda inducţiei matematice se utilizează pentru a demonstra, „din aproape în aproape”, că o propoziţie \displaystyle p\left ( n \right ) este adevărată pentru orice \displaystyle n număr natural, \displaystyle n\geq n_{0} .

Etape:

\displaystyle 1^{\circ} Se face o verificare pentru cel mai mic \displaystyle n .

Se arată că \displaystyle p\left ( n_{0} \right ) este adevărată.

\displaystyle 2^{\circ} Se demonstrează implicaţia \displaystyle p\left ( k \right )\rightarrow p\left ( k+1 \right ) .

Se presupune că propoziţia \displaystyle p\left ( k \right ) este adevărată şi se arată că, în acest caz, este adevărată şi propoziţia \displaystyle p\left ( k+1 \right ) .

\displaystyle 3^{\circ} Concluzie.

Dacă \displaystyle p\left ( n_{0} \right ) este adevărată şi \displaystyle p\left ( k \right )\rightarrow p\left ( k+1 \right ) , atunci \displaystyle p\left ( n \right ) este adevărată pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq n_{0} .

Exemplu:

Să se arate că \displaystyle n!> 2^{n} , oricare ar fi \displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq 4 .

\displaystyle 1^{\circ} Verificare pentru \displaystyle n=4 .

\displaystyle \left.\begin{matrix} 4!=24\\ \\ 2^{4}=16 \end{matrix}\right\} \; \Rightarrow \; 4!>2^{4} Adevărat

\displaystyle 2^{\circ} Implicaţia \displaystyle p\left ( k \right )\rightarrow p\left ( k+1 \right ) .

Se presupune \displaystyle p\left ( k \right ) adevărată.

\displaystyle k!>2^{k} Adevărat

Se arată că şi \displaystyle p\left ( k+1 \right ) este adevărată.

\displaystyle \left (k+1 \right )!=k!\left ( k+1 \right )

dar

\displaystyle \left.\begin{matrix} k!>2^{k}\\ \\ k\geq 4\: \Rightarrow \: k+1>2 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: k!\left ( k+1 \right )>2^{k}\cdot 2\: \Rightarrow \: \left ( k+1 \right )!>2^{k+1} Adevărat

\displaystyle 3^{\circ} Concluzie.

\displaystyle p\left ( 4 \right ) adevărată şi \displaystyle p\left ( k \right )\rightarrow p\left ( k+1 \right ) , atunci \displaystyle p\left ( n \right ) este adevărată pentru orice \displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq 4 .

\displaystyle n!> 2^{n} , oricare ar fi \displaystyle n\in \mathbb{N},\; n\geq 4