Propoziţie, predicat, cuantificatori

Propoziţii

Se numeşte propoziţie un enunţ despre care ştim că este sau adevărat sau fals.

Dacă o propoziţie \displaystyle p este adevărată spunem că valoarea sa de adevăr este „\displaystyle 1 ”:

\displaystyle p adevărată \displaystyle \Leftrightarrow \: V\left ( p \right )=1

Dacă o propoziţie este falsă, valoarea sa de adevă este „”:

\displaystyle p falsă \displaystyle \Leftrightarrow \: V\left ( p \right )=0

a) Se numeşte negaţia unei propoziţii \displaystyle p , o propoziţie notată \displaystyle \neg p , care este falsă atunci când \displaystyle p este adevărată şi adevărată atunci când \displaystyle p este falsă.

b) Conjuncţia propoziţiilor \displaystyle p şi \displaystyle q , notată \displaystyle p\wedge q („\displaystyle p şi \displaystyle q ”), este adevărată numai dacă ambele propoziţii sunt adevărate şi falsă dacă cel puţin una dintre ele este falsă.

c) Disjuncţia propoziţiilor \displaystyle p şi \displaystyle q , notată \displaystyle p\vee q („\displaystyle p sau \displaystyle q ”), este adevărată dacă cel puţin una dintre propoziţii este adevărată şi falsă doar dacă ambele propoziţii sunt false.

d) Implicaţia propoziţiilor \displaystyle p şi \displaystyle q , notată \displaystyle p\rightarrow q („\displaystyle p implică \displaystyle q ”), este falsă doar dacă \displaystyle p este adevărată şi \displaystyle q falsă şi adevărată în rest.

e) Echivalenţa propoziţiilor \displaystyle p şi \displaystyle q , notată \displaystyle p\leftrightarrow q este propoziţia compusă \displaystyle \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow p \right ) care este adevărată dacă ambele propoziţii sunt fie adevărate, fie false şi este falsă dacă cele două propoziţii au valori de adevăr diferite.

Se numeşte tautologie o expresie care este adevărată oricare ar fi valorile de adevăr ale propoziţiilor componente.

Predicate

Se numeşte predicat un enunţ care depinde de una sau mai multe variabile şi care, în funcţie de valorile date variabilelor, se poate transforma fie în propoziţie adevărată, fie în propoziţie falsă.

Mulţimea valorilor pentru care predicatul reprezintă o propoziţie adevărată se numeşte mulţimea de adevăr a predicatului.

Cuantificatori

Cuantificatorul universal \displaystyle \forall („oricare”):

\displaystyle \left (\forall \right ) x\in D,\: p\left ( x \right ) ” se citeşte „oricare ar fi elementul \displaystyle x\in D , propoziţia \displaystyle p\left ( x \right ) este adevărată”.

Dacă există cel puţin un element \displaystyle x_{0}\in D pentru care propoziţia nu este adevărată, atunci \displaystyle p este falsă.

Cuantificatorul existenţial \displaystyle \exists („există”)

\displaystyle \left (\exists \right )x_{0}\in D,\: p\left ( x \right ) ” se citeşte „există cel puţin un element \displaystyle x_{0}\in D pentru care propoziţia \displaystyle p\left ( x \right ) este adevărată”.

Dacă nu există niciun astfel de element, propoziţia \displaystyle p este falsă.