Operaţii cu numere reale

Proprietăţile operaţiilor cu numere reale

În mulţimea numerelor reale se consideră două operaţii, adunarea şi înmulţirea.

\displaystyle \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R},\; x+y\in \mathbb{R}

\displaystyle \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R},\; x\cdot y\in \mathbb{R}

Adunarea are următoarele proprietăţi:

1^{\circ} Asociativitate

\displaystyle \left ( x+y \right )+z=x+\left ( y+z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in \mathbb{R}

2^{\circ} Comutativitate

\displaystyle x+y=y+x,\; \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R}

3^{\circ} Numărul 0 este element neutru pentru adunare.

\displaystyle x+0=0+x=x,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}

4^{\circ} Pentru orice număr real x , există un număr opus, notat \left ( -x \right ) , astfel încât

\displaystyle x+\left ( -x \right )=\left ( -x \right )+x=0,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}

Se consideră că \displaystyle -0=0

Scăderea poate fi definită ca fiind adunarea descăzutului cu opusul scăzătorului:

\displaystyle x-y=x+\left ( -y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R}

Proprietăţile înmulţirii:

1^{\circ} Asociativitate

\displaystyle \left ( x\cdot y \right )\cdot z=x\cdot \left ( y\cdot z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in \mathbb{R}

2^{\circ} Comutativitate

\displaystyle x\cdot y=y\cdot x,\; \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R}

3^{\circ} Numărul 1 este element neutru pentru înmulţire.

\displaystyle x\cdot 1=1\cdot x=x,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}

4^{\circ} Pentru orice număr real nenul x , există numărul invers, notat x^{-1} , astfel încât

\displaystyle x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}^{*}

Se ştie că

\displaystyle x^{-1}=\frac{1}{x},\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}^{*}

Împărţirea poate fi definită ca fiind înmulţirea primului factor cu inversul celui de-al doilea factor, cu condiţia ca cel din urmă să fie nenul:

\displaystyle x:y=x\cdot \frac{1}{y}=x\cdot y^{-1},\; \left ( \forall \right )x,y\in \mathbb{R},\; y\neq 0

5^{\circ} Înmulţirea este distributivă faţă de adunare:

\displaystyle x\cdot \left ( y+z \right )=x\cdot y+x\cdot z,\; \left ( \forall \right )x,y,z\in \mathbb{R}

Ordonarea numerelor reale

Pe mulţimea numerelor reale se introduce o relaţie de ordine astfel:

se consideră \displaystyle x>y dacă şi numai dacă \displaystyle x-y>0 .

Proprietăţile relaţiei de ordine:

1^{\circ} Trihotomie

Pentru orice \displaystyle x,y\in \mathbb{R} este adevărată una şi numai una dintre relaţiile:

\displaystyle x<y;\; x=y;\; x>y

2^{\circ} Reflexivitate

\displaystyle x\leq x

3^{\circ} Antisimetrie

\displaystyle x\leq y şi \displaystyle y\leq x\; \Rightarrow \; x=y

4^{\circ} Tranzitivitate

\displaystyle x\leq y şi \displaystyle y\leq z\; \Rightarrow \; x\leq z