Partea întreagă şi partea fracţionară ale unui număr raţional

Se numeşte parte întreagă a unui număr \displaystyle x\in \mathbb{Q} , cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu numărul considerat.

Se notează \displaystyle \left [ x \right ] .

Dacă \displaystyle \left [ x \right ]=k,\; k\in \mathbb{Z} , atunci \displaystyle k\leq x< k+1 .

Partea fracţionară a numărului \displaystyle x\in \mathbb{Q} , notată cu \displaystyle \left \{ x \right \} , este egală cu diferenţa dintre numărul considerat şi partea lui întreagă.

\displaystyle \left \{ x \right \}=x-\left [ x \right ]

Proprietăţi:

\displaystyle 1^{\circ}   \displaystyle \left [ x \right ]=x\; \Leftrightarrow \; x\in \mathbb{Z}

\displaystyle 2^{\circ}   \displaystyle x-1<\left [ x \right ]\leq x<\left [ x \right ]+1,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R}

\displaystyle 3^{\circ}   \displaystyle \left [ x+n \right ]=\left [ x \right ]+n,\; \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R},\: \left ( \forall \right )n\in \mathbb{Z}

\displaystyle 4^{\circ} Identitatea lui Hermite:

\displaystyle \left [ x \right ]+\left [ x+\frac{1}{n} \right ]+\left [ x+\frac{2}{n} \right ]+ \cdots+\left [ x+\frac{n-1}{n} \right ]=\left [ nx \right ]

\displaystyle \left ( \forall \right )x\in \mathbb{R},\; \left ( \forall \right )n\in \mathbb{N}^{*}

\displaystyle 5^{\circ}    \displaystyle \left [ -x \right ]=\left\{\begin{matrix} -\left [ x \right ],\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\; x\in \mathbb{Z}\\ \\ -\left [ x \right ]-1,\; \textrm{dac}\breve{\textrm{a}}\; x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} \end{matrix}\right.


Exemplu:

Să se determine partea întreagă şi partea fracţionară ale numerelor \displaystyle 3,62 şi \displaystyle -11,48 .

\displaystyle 3<3,62<4\; \Rightarrow \; \left [ 3,62 \right ]=3

\displaystyle \left \{ 3,62 \right \}=3,62-3=0,62

\displaystyle -12<-11,48<-11\; \Rightarrow \; \left [ -11,48 \right ]=-12

\displaystyle \left \{ -11,48 \right \}=-11,48-\left ( -12 \right )=0,52