Forma trigonometrică a unui număr complex

Fie punctul \displaystyle P\left ( a,b \right ), imaginea geometrică a numărului complex \displaystyle z=a+bi .

Se notează cu \displaystyle r distanţa de la origine la punctul \displaystyle P şi cu \displaystyle \varphi , unghiul dintre axa \displaystyle Ox şi direcţia \displaystyle OP , măsurat în sens trigonometric.

\displaystyle r şi \displaystyle \varphi se numesc coordonatele polare ale punctului \displaystyle P .

Relaţiile între coordonatele carteziene şi coordonatele polare ale punctului \displaystyle P sunt:

\displaystyle r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

\displaystyle \sin \varphi =\frac{b}{r}\; \Leftrightarrow \; b=r\sin \varphi

\displaystyle \cos \varphi =\frac{a}{r}\; \Leftrightarrow \; a=r\cos \varphi

Prin urmare, numărul complex \displaystyle z=a+bi se poate scrie sub formă trigonometrică

\displaystyle z=r\left ( \cos \varphi +i\sin \varphi \right ),\; \varphi \in \left [ 0,\, 2\pi \right ]

Unghiul \displaystyle \varphi se numeşte argumentul redus al numărului complex \displaystyle z .

\displaystyle \varphi =\arg \left ( z \right )

Produsul şi câtul a două numere complexe sub formă trigonometrică

Se consideră numerele complexe sub formă trigonometrică \displaystyle z_{1}=r_{1}\left ( \cos \varphi _{1}+i \sin \varphi _{1} \right ) şi \displaystyle z_{2}=r_{2}\left ( \cos \varphi _{2}+i \sin \varphi _{2} \right ) .

\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}\left [ \cos\left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right )+i \sin \left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right ) \right ]

\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ \cos\left ( \varphi _{1}-\varphi _{2} \right )+i \sin \left ( \varphi _{1}-\varphi _{2} \right ) \right ]

Ridicarea la putere a unui număr complex sub formă trigonometrică

Fie numărul \displaystyle z=r\left ( \cos \varphi +i \sin \varphi \right ) .

\displaystyle z^{n}=r^{n}\left ( \cos n\varphi +i \sin n\varphi \right )

Pentru \displaystyle r=1 se obţine formula lui Moivre:

\displaystyle \left ( \cos \varphi +i \sin \varphi \right )^{n}=\cos n\varphi +i \sin n\varphi

Rădăcinile de ordinul \displaystyle n dintr-un număr complex

Numărul complex \displaystyle z_{k}=r_{k}\left ( \cos \theta _{k}+i \sin \theta _{k} \right ),\; z_{k}\neq 0 este rădăcină de ordinul \displaystyle n,\: n\in \mathbb{N},\: n\geq 2 a numărului complex \displaystyle z=r\left ( \cos \varphi+i\sin \varphi \right ),\; z\neq 0 , dacă

\displaystyle \left ( z_{k} \right )^{n}=z

Rădăcinile de ordinul \displaystyle n ale numărului complex \displaystyle z se pot determina cu relaţia:

\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{r}\left ( \cos \frac{\varphi +2k\pi }{n} +i \sin \frac{\varphi +2k\pi }{n} \right ) ,   \displaystyle k=0,\: 1,\: 2,\: \ldots,\: \left ( n-1 \right )