Mulţimea numerelor complexe

Mulţimea \displaystyle \mathbb{C}=\left \{ z=a+bi\, |\, a,b\in \mathbb{R},\: i^{2}=-1 \right \} se numeşte mulţimea numerelor complexe.

Cele două numere, \displaystyle a şi \displaystyle b , pot reprezenta coordonatele unui punct \displaystyle P în sistemul cartezian \displaystyle xOy .

Punctul \displaystyle P\left ( a,b \right ) se numeşte imaginea geometrică a numărului complex \displaystyle z=a+bi .

Numărul complex \displaystyle z=a+bi se numeşte afixul punctului \displaystyle P\left ( a,b \right ) .

Numere complexe sub formă algebrică

Forma algebrică a numărului complex \displaystyle z este

\displaystyle z=a+bi,\; a,b\in \mathbb{R},\; i^{2}=-1

\displaystyle a este partea reală a numărului complex \displaystyle z , iar \displaystyle b este partea imaginară. Se notează:

\displaystyle \textrm{Im}\left ( z \right )=a,\; \textrm{Re}\left ( z \right )=b

Modulul numărului complex \displaystyle z este

\displaystyle \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

şi reprezintă distanţa de la originea sistemului de coordonate la punctul \displaystyle P\left ( a,b \right ) , imaginea geometrică a lui \displaystyle z .

Egalitatea a două numere complexe

Două numere complexe, \displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}i şi \displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}i sunt egale dacă atât părţile lor reale, cât şi cele imaginare, coincid.

\displaystyle z_{1}=z_{2}\; \Leftrightarrow \; \left\{\begin{matrix} a_{1}=a_{2}\\ \\ b_{1}=b_{2} \end{matrix}\right.

Operaţii algebrice cu numere complexe

Considerând numerele complexe sub formă algebrică \displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}i şi \displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}i ,

\displaystyle z_{1}+z_{2}=a_{1}+b_{1}i+a_{2}+b_{2}i=\left ( a_{1}+ a_{2} \right )+\left ( b_{1}+ b_{2} \right )i

\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=\left ( a_{1}+b_{1}i \right ) \left ( a_{2}+b_{2}i \right )=\left ( a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2} \right )+\left ( a_{1} b_{2}+ a_{2} b_{1} \right )i

Puterile lui \displaystyle i

\displaystyle i=\sqrt{-1};\; i^{2}=-1;\; i^{3}=-i;\; i^{4}=1

Generalizând,

\displaystyle i^{4k}=1;\; i^{4k+1}=i;\; i^{4k+2}=-1;\; i^{4k+3}=-i;\; k\in \mathbb{N}

Numere complexe conjugate

Conjugatul numărului complex \displaystyle z=a+bi este numărul complex \displaystyle \overline{z}=a-bi

\displaystyle \left | z \right |=\left | \overline{z} \right |

\displaystyle z+\overline{z}=2a\in \mathbb{R}

\displaystyle z\cdot \overline{z}=a^{2}+b^{2}\in \mathbb{R}

\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}},\; \left ( \forall \right )z_{1},z_{2}\in \mathbb{C}

\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}},\; \left ( \forall \right )z_{1},z_{2}\in \mathbb{C}

\displaystyle \overline{\left (\frac{z_{1}}{z_{2}} \right )}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}},\; \left ( \forall \right )z_{1},z_{2}\in \mathbb{C}

\displaystyle \overline{z^{n}}=\left (\overline{z} \right )^{n},\; \left ( \forall \right )z\in \mathbb{C}

\displaystyle z\in \mathbb{R}\; \Leftrightarrow \; z=\overline{z}

\displaystyle z\in \mathbb{R}^{*}i\; \Leftrightarrow \; z=-\overline{z}

Rădăcinile pătrate ale unui număr complex

Orice număr complex nenul admite două rădăcini pătrate opuse.

Pentru a determina rădăcinile pătrate ale numărului complex \displaystyle z=a+bi se rezolvă sistemul de ecuaţii

\displaystyle \left (x+yi \right )^{2}=z

Respectiv

\displaystyle \left (x+yi \right )^{2}=a+bi\; \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=a\\ \\ 2xy=b \end{matrix}\right.