Descompunerea în factori a expresiilor polinomiale de gradul doi sau trei

Factorizarea expresiei pătratice

Expresia de gradul al doilea de forma \displaystyle \left ( ax^{2}+bx+c \right ) se poate descompune într-un produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienţi întregi dacă discriminantul \displaystyle \Delta =b^{2}-4ac este pătrat perfect.

În acest caz,

\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )

unde \displaystyle x_{1} şi \displaystyle x_{2} sunt soluţiile ecuaţiei \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 .


Exemplu:

Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( x \right )=2x^{2}+5x+3

Se calculează discriminantul \displaystyle \Delta =5^{2}-4\cdot 2\cdot 3=1 care este pătrat perfect.

Soluţiile ecuaţiei \displaystyle 2x^{2}+5x+3=0 sunt:

\displaystyle x_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{4}\; \Rightarrow \; \left\{\begin{matrix} x_{1}=-1\\ x_{2}=-\frac{3}{2} \end{matrix}\right.

Descompunerea în factori a expresiei va fi

\displaystyle E\left ( x \right )=2\left ( x-\left ( -1 \right ) \right )\left ( x-\left ( -\frac{3}{2} \right ) \right )=2\left ( x+1 \right )\left ( x+\frac{3}{2} \right )

Pentru o scriere mai compactă, se introduce factorul \displaystyle 2 în cea de-a doua paranteză:

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x+1 \right )\left ( 2x+3 \right )


Descompunerea în factori a expresiilor polinomiale de gradul al treilea

Pentru a descompune în factori o expresie de gradul al treilea, de forma

\displaystyle E\left ( x \right )=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\; a\neq 0

se caută, printre divizorii termenului liber \displaystyle d , o soluţie întreagă a ecuaţiei

\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

Dacă soluţia găsită este \displaystyle x_{1} , descompunerea în factori a expresiei va fi

\displaystyle E\left ( x \right )=\left (x-x_{1} \right )\left ( mx^{2}+nx+p \right )

unde coeficienţii \displaystyle m,\: n,\: p se pot determina fie prin calcul, fie cu ajutorul Schemei lui Horner, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.


Exemplu:

Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( x \right )=x^{3}-17x^{2}+54x-8

Se caută o soluţie întreagă a ecuaţiei

\displaystyle x^{3}-17x^{2}+54x-8=0

Dacă ecuaţia are soluţii întregi, ele se află printre divizorii termenului liber, \displaystyle 8 , adică aparţine mulţimii \displaystyle \left \{ -8;-4;-2;-1;1;2;4;8 \right \} .

Prin încercări, se determină \displaystyle x_{1}=4 soluţie a ecuaţiei.

Prin urmare,

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x-4 \right )\left ( mx^{2}+nx+p \right )

Pornind de la

\displaystyle x^{3}-17x^{2}+54x-8=\left ( x-4 \right )\left ( mx^{2}+nx+p \right )

se desfac parantezele în membrul drept al egalităţii şi se ordonează termenii după puterile lui \displaystyle x :

\displaystyle x^{3}-17x^{2}+54x-8=mx^{3}+\left ( n-4m \right )x^{2}+\left ( p-4n \right )x-4p

Coeficienţii \displaystyle m,\: n,\: p se determină din sistemul

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} m=1 \\ n-4m=-17 \\ p-4n=54 \\ -4p=-8 \end{array} \right.

cu soluţia \displaystyle m=1,\: n=-13,\: p=2 .

Se obţine, în final

\displaystyle E\left ( x \right )=\left ( x-4 \right )\left ( x^{2}-13x+2 \right )