Descompunerea unei expresii algebrice raţionale într-o sumă de fracţii simple

O expresie algebrică raţională are forma

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{P\left ( x \right )}{Q\left ( x \right )}

unde \displaystyle P\left ( x \right ) şi \displaystyle Q\left ( x \right ) sunt polinoame cu coeficienţi întregi, iar \displaystyle Q\left ( x \right )\neq 0 , oricare ar fi \displaystyle x aparţinând domeniului de definiţie al expresiei \displaystyle E\left ( x \right ) .

Orice expresie algebrică raţională poate fi scrisă ca o sumă finită de fracţii algebrice simple.

Pot fi întâlnite două situaţii:

\displaystyle 1^{\circ} Gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului:

\displaystyle \textrm{grad}\, P\left ( x \right )<\textrm{grad}\, Q\left ( x \right )

  • Se descompune numitorul \displaystyle Q\left ( x \right ) în factori ireductibili (polinoame de gradul unu şi/sau polinoame de gradul doi cu discriminantul negativ)

În cazul general,

\displaystyle Q\left ( x \right )=\left ( ax+b \right )\left ( cx+d \right )^{n}\left ( px^{2}+qx+r \right )\left ( ux^{2}+vx+w \right )^{m}

  • Se scrie expresia \displaystyle E\left ( x \right ) ca o sumă de fracţii simple, având ca numitori factorii polinomului \displaystyle Q\left ( x \right ) la toate puterile posibile. La numărătorul fracţiilor se scriu expresii având gradul mai mic cu o unitate decât gradul factorului de la numitor.

 

Pentru factorii având expresia: în descompunerea lui \displaystyle E\left ( x \right ) se includ termeni de forma:
\displaystyle \left ( ax+b \right ) \displaystyle \frac{A}{ax+b}
\displaystyle \left ( cx+d \right )^{n} \displaystyle \frac{B}{cx+d}+\frac{C}{\left (cx+d \right )^{2}}+\cdots +\frac{D}{\left (cx+d \right )^{n}}
\displaystyle \left ( px^{2}+qx+r \right ) \displaystyle \frac{Ex+F}{px^{2}+qx+r}
\displaystyle \left ( ux^{2}+vx+w \right )^{m} \displaystyle \frac{Gx+H}{ux^{2}+vx+w}+\frac{Sx+T}{\left (ux^{2}+vx+w \right )^{2}}+\cdots +\frac{Ux+V}{\left (ux^{2}+vx+w \right )^{m}}

Prin urmare, forma generală a expresiei \displaystyle E\left ( x \right ) va fi:

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{cx+d}+\frac{C}{\left ( cx+d \right )^{2}}+\cdots +\frac{D}{\left ( cx+d \right )^{n}}+\frac{Ex+F}{px^{2}+qx+r}+

\displaystyle +\frac{Gx+H}{ux^{2}+vx+w}+\frac{Sx+T}{\left (ux^{2}+vx+w \right )^{2}}+\cdots +\frac{Ux+V}{\left (ux^{2}+vx+w \right )^{m}}

  • Se aduc fracţiile din membrul drept al egalităţii la acelaşi numitor şi se adună. Apoi se desfac toate parantezele de la numărător şi se ordonează termenii obţinuţi după puterile lui \displaystyle x .
  • Se calculează coeficienţii \displaystyle A,B,C, \ldots ştiind că numărătorul obţinut în dreapta egalităţii trebuie să fie egal cu \displaystyle P\left ( x \right ) .

 

\displaystyle 2^{\circ} Gradul numărătorului este mai mare sau egal decât gradul numitorului:

\displaystyle \textrm{grad}\, P\left ( x \right )\geq \textrm{grad}\, Q\left ( x \right )

În acest caz, expresia algebrică se rescrie sub forma

\displaystyle E\left ( x \right )=T\left ( x \right )+\frac{R\left ( x \right )}{Q\left ( x \right )}

unde polinoamele \displaystyle T\left ( x \right ) şi \displaystyle R\left ( x \right ) se obţin fie prin artificii de calcul, fie utilizând algoritmul de împărţire a polinoamelor.

Apoi fracţia \displaystyle \frac{R\left ( x \right )}{Q\left ( x \right )} se descompune în fracţii simple cu metoda de la punctul \displaystyle 1^{\circ} .


Exemplu:

Să se descompună în fracţii simple expresia

\displaystyle E\left ( x \right )=\frac{x^{4}+x^{3}-5x^{2}+26x-21}{x^{2}+3x-4}

Deoarece gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, se poate utiliza algoritmul de împărţire a polinoamelor:

Conform teoremei împărţirii cu rest aplicată polinoamelor

\displaystyle x^{4}+x^{3}-5x^{2}+26x-21=\left ( x^{2}+3x-4 \right )\left ( x^{2}-2x+5 \right )+3x-1

iar expresia \displaystyle E\left ( x \right ) se poate scrie:

\displaystyle E\left ( x \right )=x^{2}-2x+5+\frac{3x-1}{x^{2}+3x-4}

În continuare, se descompune în fracţii simple doar expresia \displaystyle \frac{3x-1}{x^{2}+3x-4} .

Descompunerea în factori a numitorului este:

\displaystyle x^{2}+3x-4=\left ( x+4 \right )\left ( x-1 \right )

Se scrie

\displaystyle \frac{3x-1}{x^{2}+3x-4}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1}

de unde

\displaystyle 3x-1=A\left ( x-1 \right )+B\left ( x+4 \right )

\displaystyle 3x-1=x\left ( A+B \right )-A+4B

Coeficienţii \displaystyle A şi \displaystyle B se determină sistemul:

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} A+B=3 \\ -A+4B=-1 \end{array} \right .

cu soluţia

\displaystyle \left ( A,B \right )=\left ( \frac{13}{5},\frac{2}{5} \right )

Astfel

\displaystyle \frac{3x-1}{x^{2}+3x-4}=\frac{13}{5\left ( x+4 \right )}+\frac{2}{5\left ( x-1 \right )}

În final,

\displaystyle E\left ( x \right )=x^{2}-2x+5+\frac{13}{5\left ( x+4 \right )}+\frac{2}{5\left ( x-1 \right )}