Metode de descompunere în factori a expresiilor algebrice

O expresie algebrică conţine numere, variabile şi cel puţin o operaţie aritmetică.

Un produs având ca factori numere şi litere la diferite puteri se numeşte monom.

Monoamele asemenea conţin exact aceleaşi variabile, la aceleaşi puteri. Gradul unui monom este egal cu suma tuturor exponenţilor variabilelor sale.

Pentru a putea efectua diverse calcule cu expresii algebrice, este utilă scrierea lor sub o formă cât mai simplă:

  • dacă printre termenii unei expresii există monoame asemenea, acestea se adună.
  • în cazul unei fracţii algebrice, atât numărătorul, cât şi numitorul se descompun în factori ireductibili, iar dacă există factori comuni, expresia se poate simplifica.
  • descompunerea unei expresii algebrice în factori ireductibili este recomandată în cazul rezolvării ecuaţiilor polinomiale cu grad mai mare sau egal decât trei.

Factorul comun

Factorul comun al unei expresii algebrice scrise sub formă de sumă de monoame poate fi constituit din:

  • un factor numeric reprezentat de cel mai mare divizor comun al coeficienţilor monoamelor;
  • variabilele care apar în toate monoamele, la puterea cea mai mică.

Odată găsit, factorul comun se scrie în faţa parantezei, iar în paranteză rămân câturile obţinute prin împărţirea fiecărui monom la factorul comun.


Exemplu:

Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( a,b \right )=60a^{4}b^{3}-15a^{3}b^{4}+45a^{2}b^{5}

Se poate observa că cel mai mare divizor comun al coeficienţilor este \displaystyle 15 .

Variabilele \displaystyle a şi \displaystyle b apar în toate monoamele: cea mai mică putere a lui \displaystyle a este \displaystyle a^{2} , iar cea mai mică putere al lui \displaystyle b este \displaystyle b^{3} .

În consecinţă, factorul comun este \displaystyle 15a^{2}b^{3} .

Expresia devine

\displaystyle E\left ( a,b \right )=15a^{2}b^{3}\left ( 4a^{2}-ab+3b^{2} \right )


Factorul comun obţinut prin gruparea termenilor

Dacă nu există un factor comun al tuturor termenilor, monoamele pot fi eventual rearanjate şi grupate, cu condiţia ca fiecare grupare să conţină acelaşi număr de termeni.

Metoda este posibilă atunci când, după scoaterea factorului comun pentru fiecare grupare în parte, parantezele care se obţin sunt identice.


Exemplu:

Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( a,b \right )=4a^{2}-21b^{3}+6ab-14ab^{2}

Se rearanjează şi se grupează termenii câte doi:

\displaystyle E\left ( a,b \right )=\underbrace{4a^{2}+6ab}\underbrace{-14ab^{2}-21b^{3}}

Se scoate factorul comun al fiecărei grupări:

\displaystyle E\left ( a,b \right )=2a\left ( 2a+3b \right )-7b^{2}\left ( 2a+3b \right )

Expresia \displaystyle \left ( 2a+3b \right ) este factor comun.

Prin urmare,

\displaystyle E\left ( a,b \right )=\left ( 2a+3b \right )\left ( 2a-7b^{2} \right )


Utilizarea formulelor de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat se pot folosi atunci când expresia se poate scrie ca diferenţă de pătrate sau sub forma unui binom la puterea a doua sau a treia.

Se pot utiliza, de asemenea, formulele sumei sau diferenţei de cuburi.


Exemple:

a) Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle E\left ( x,y \right )=\underbrace{4x^{2}-4x+1}-y^{2}

Se poate observa că primii trei termeni constituie expresia unui binom la pătrat.

\displaystyle E\left ( x,y \right )=\left ( 2x-1 \right )^{2}-y^{2}

Apoi se utilizează formula diferenţei de pătrate şi, în fiecare dintre paranteze, se rearanjează termenii în ordinea puterilor.

\displaystyle E\left ( x,y \right )=\left ( 2x-1-y \right ) \left ( 2x-1+y \right )

\displaystyle E\left ( x,y \right )=\left ( 2x-y-1 \right ) \left ( 2x+y-1 \right )

b) Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle F\left ( x,y \right )=x^{4}+6x^{2}y+9y^{2}

Rescriind convenabil, se observă formula binomului la pătrat:

\displaystyle F\left ( x,y \right )=\left (x^{2} \right )^{2}+2\cdot \left (x^{2} \right )\cdot \left (3y \right )+\left (3y \right )^{2}

\displaystyle F\left ( x,y \right )=\left (x^{2} +3y \right )^{2}

c) Să se descompună în factori expresia:

\displaystyle G\left ( x,y \right )=64x^{6}+27y^{3}

Expresia dată este o sumă de cuburi:

\displaystyle G\left ( x,y \right )=\left (4x^{2} \right )^{3}+\left (3y \right )^{3}

Se aplică formula sumei de cuburi, apoi se rescrie expresia într-o formă cât mai compactă:

\displaystyle G\left ( x,y \right )=\left (4x^{2}+3y \right )\left ( \left ( 4x^{2} \right )^{2}-\left ( 4x^{2} \right )\cdot \left ( 3y \right )+\left ( 3y \right )^2 \right )

\displaystyle G\left ( x,y \right )=\left (4x^{2}+3y \right )\left ( 16x^{2}-12x^{2}y+9y^{2} \right )