Inele, corpuri, morfisme de inele şi de corpuri

Inel

Un triplet \displaystyle \left ( M,\: \circ,\: \ast \right ) , \displaystyle M\neq \varnothing se numeşte inel dacă:

\displaystyle 1^{\circ} \displaystyle \left (M,\: \circ \right ) este grup abelian.

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \\\\ \left ( \forall \right )x\in M,\; \left ( \exists \right )x'\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ x'=x' \circ x=e \\\\ x \circ y = y \circ x,\; \left ( \forall \right )x,y\in M \end{array} \right.

\displaystyle 2^{\circ} \displaystyle \left (M,\: \ast \right ) este monoid

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right ) \varepsilon \in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast \varepsilon = \varepsilon \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \end{array} \right.

\displaystyle 3^{\circ} Legea ” \displaystyle \ast ” este distributivă faţă de legea ” \displaystyle \circ ”.

\displaystyle x \ast \left ( y \circ z \right ) = \left ( x \ast y \right ) \circ \left ( x \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M

În plus, dacă legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, se spune că inelul este comutativ.

Corp

Un triplet \displaystyle \left ( K,\: \circ,\: \ast \right ) , în care \displaystyle K are cel puţin două elemente, se numeşte corp dacă:

\displaystyle 1^{\circ} \displaystyle \left ( K,\: \circ,\: \ast \right ) este inel.

\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \\ \\ \left ( \exists \right )e\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in K \\ \\ \left ( \forall \right )x\in K,\; \left ( \exists \right )x'\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ x'=x' \circ x=e \\ \\ x \circ y = y \circ x,\; \left ( \forall \right )x,y\in K \\ \\ \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \\ \\ \left ( \exists \right )\varepsilon \in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast \varepsilon = \varepsilon \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in K \\ \\x \ast \left ( y \circ z \right ) = \left ( x \ast y \right ) \circ \left ( x \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in K \end{array} \right.

\displaystyle 2^{\circ} \displaystyle \left ( \forall \right )x\in K, \; x\neq e,\; \left ( \exists \right )x^{-1}\in K\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\;x \ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = \varepsilon

În plus, dacă legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, atunci corpul \displaystyle K este corp comutativ.

Morfisme de inele şi de corpuri

Se consideră două inele (sau corpuri): \displaystyle \left (A,\: \circ,\: \ast \right ) şi \displaystyle \left (B,\: \oplus ,\: \odot \right ) .

O funcţie \displaystyle f:A\rightarrow B se numeşte morfism de inele (sau morfism de corpuri) dacă:

\displaystyle f\left ( x \circ y \right ) = f\left ( x \right ) \oplus f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in A

şi

\displaystyle f\left ( x \ast y \right ) = f\left ( x \right ) \odot f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in A

Dacă, în plus, funcţia  este bijectivă, atunci se numeşte izomorfism de inele (sau izomorfism de corpuri).