Lege de compoziţie internă, parte stabilă, clase de resturi modulo n

Lege de compoziţie

Se numeşte lege de compoziţie (internă) sau operaţie algebrică binară o aplicaţie definită pe \displaystyle M\times M cu valori în \displaystyle M , care asociază fiecărei perechi \displaystyle \left ( x,y \right )\in M un unic element \displaystyle \left ( x\circ y \right )\in M .

Elementul \displaystyle \left ( x\circ y \right ) se numeşte compusul lui \displaystyle x cu \displaystyle y .

Pentru notaţia unei legi de compoziţie se pot utiliza diferite simboluri, de obicei altele decât cele utilizate în calculele aritmetice, de exemplu: \displaystyle \circ ,\: \ast ,\: \perp ,\: \odot ,\: \otimes , etc.

Tabla unei legi de compoziţie

Dacă \displaystyle M este o mulţime finită, de exemplu \displaystyle M=\left \{ x,y,z,t \right \} , iar ” \displaystyle \circ ” este o lege de compoziţie pe \displaystyle M  , atunci legea de compoziţie poate fi redată într-un tabel numit tabla legii de compoziţie.

Proprietăţi ale legilor de compoziţie

\displaystyle 1^{\circ} Asociativitatea

\displaystyle ``\circ ``\: \textrm{asociativ} \breve {\textrm{a}}\; \Leftrightarrow \; \left ( x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left ( y \circ z \right ),\: \left ( \forall \right )x,y,z\in M

\displaystyle 2^{\circ} Comutativitatea

\displaystyle ``\circ ``\: \textrm{comutativ} \breve {\textrm{a}}\; \Leftrightarrow \; x \circ y=y \circ x,\: \left ( \forall \right )x,y\in M

\displaystyle 3^{\circ} Elementul neutru

\displaystyle e\in M \; \textrm{element\, neutru} \; \Leftrightarrow \; x \circ e=e \circ x=x,\: \left ( \forall \right )x\in M

\displaystyle 4^{\circ} Elementul simetric

\displaystyle x'\in M \; \textrm{simetricul\, lui}\: x\; \Leftrightarrow \; x \circ x'=x' \circ x=e,\: \left ( \forall \right )x\in M

Parte stabilă

O submulţime nevidă \displaystyle H\subseteq M se numeşte parte stabilă a mulţimii \displaystyle M în raport cu legea de compoziţie\displaystyle \circ ” dacă

\displaystyle \left ( \forall \right )x,y\in H \; \Rightarrow \; \left (x \circ y \right )\in H

Clase de resturi modulo \displaystyle n

Fie numerele \displaystyle a,b\in \mathbb{Z} şi \displaystyle n\in \mathbb{N}^{*} .

Se spune că numărul \displaystyle a este congruent cu numărul \displaystyle b modulo \displaystyle n , dacă şi numai dacă cele două numere, \displaystyle a şi \displaystyle b , dau acelaşi rest \displaystyle r prin împărţirea la \displaystyle n .

\displaystyle a\equiv b\left ( \textrm{mod}\: n \right )\; \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=n\cdot c_{1}+r \\ b=n\cdot c_{2}+r \end{array} \right.,\; c_{1},c_{2},r\in \mathbb{Z},\; 0\leq r<n

sau

\displaystyle a\equiv b\left ( \textrm{mod}\: n \right ) dacă \displaystyle \frac{a-b}{n}\in \mathbb{Z}

Se notează \displaystyle \widehat{a} mulţimea tuturor numerelor întregi care dau acelaşi rest \displaystyle r prin împărţirea la \displaystyle n .

\displaystyle \widehat{a}=\left \{ b\in \mathbb{Z}\, |\, b\equiv a\left ( \textrm{mod}\: n \right ) \right \}

\displaystyle \widehat{a} se numeşte clasa lui \displaystyle a modulo \displaystyle n .

Mulţimea \displaystyle \mathbb{Z}_n=\left \{ \widehat{1},\widehat{2}, \widehat{3},\, \ldots,\, \widehat{n-1} \right \} se numeşte mulţimea claselor de resturi modulo \displaystyle n .

Operaţii în mulţimea claselor de resturi modulo \displaystyle n :

\displaystyle \widehat{a}+\widehat{b}=\widehat{a+b}

\displaystyle \widehat{a} \cdot \widehat{b}=\widehat{a \cdot b}