Monoizi, grupuri, morfisme şi izomorfisme de grupuri

Monoid

Un cuplu \displaystyle \left ( M,\: \circ \right ) , format din mulţimea nevidă \displaystyle M şi legea de compoziţie ” \displaystyle \circ ” se numeşte monoid dacă legea ” \displaystyle \circ ” este asociativă şi admite element neutru.

\displaystyle \left ( M,\: \circ \right )\; \textrm{monoid}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \end{array} \right.

Dacă, în plus, legea ” \displaystyle \circ ” este comutativă, atunci cuplul \displaystyle \left ( M,\: \circ \right ) se numeşte monoid comutativ.

\displaystyle \left ( M,\: \circ \right )\; \textrm{monoid\: comutativ}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \circ y \right ) \circ z=x \circ \left (y \circ z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in M \\\\ \left ( \exists \right )e\in M\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \circ e=e \circ x=x,\; \left ( \forall \right )x\in M \\\\ x \circ y=y \circ x,\: \left ( \forall \right )x,y\in M \end{array} \right.

Grup

Un cuplu \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) , format din mulţimea nevidă \displaystyle G şi legea de compoziţie ” \displaystyle \ast ” se numeşte grup dacă legea ” \displaystyle \ast ” este asociativă, admite element neutru şi orice element din \displaystyle G este simetrizabil faţă de legea ” \displaystyle \ast “.

\displaystyle \left ( G,\: \ast \right )\; \textrm{grup}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in G \\\\ \left ( \exists \right )e\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast e=e \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in G \\\\ \left ( \forall \right )x\in G,\; \left ( \exists \right )x'\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast x'=x' \ast x=e \end{array} \right.

Dacă, în plus, legea ” \displaystyle \ast ” este comutativă, atunci cuplul \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) se numeşte grup comutativ sau grup abelian.

\displaystyle \left ( G,\: \ast \right )\; \textrm{grup\; comutativ\: (abelian)}\; \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{array}{l} \left (x \ast y \right ) \ast z=x \ast \left (y \ast z \right ),\; \left ( \forall \right )x,y,z\in G \\\\ \left ( \exists \right )e\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast e=e \ast x=x,\; \left ( \forall \right )x\in G \\\\ \left ( \forall \right )x\in G,\; \left ( \exists \right )x'\in G\; \textrm{a.} \hat{\textrm{\i}}.\; x \ast x'=x' \ast x=e \\\\ x \ast y = y \ast x,\; \left ( \forall \right )x,y\in G \end{array} \right.

Grup finit

Un grup \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) se numeşte grup finit dacă mulţimea \displaystyle G este finită.

Ordinul unui grup finit \displaystyle \left ( G,\: \ast \right ) este egal cu cardinalul (numărul elementelor) mulţimii \displaystyle G .

Morfisme şi izomorfisme de grupuri

Se consideră două grupuri, \displaystyle \left ( G,\: \circ \right ) şi \displaystyle \left ( H,\: \ast \right ) .

O funcţie \displaystyle f:G\rightarrow H se numeşte morfism de grupuri dacă

\displaystyle f\left ( x \circ y \right )=f\left ( x \right ) \ast f\left ( y \right ),\; \left ( \forall \right )x,y\in G

Dacă, în plus, funcţia  este bijectivă, atunci ea se numeşte izomorfism de grupuri.

Orice morfism \displaystyle f:G\rightarrow G se numeşte endomorfism de grupuri.

Orice izomorfism \displaystyle f:G\rightarrow G se numeşte automorfism de grupuri.

Două grupuri finite \displaystyle \left ( G,\: \circ \right ) şi \displaystyle \left ( H,\: \ast \right ) se numesc izomorfe dacă ordinele lor sunt egale (mulţimile \displaystyle G şi \displaystyle H au acelaşi număr de elemente), iar tablele operaţiilor celor două grupuri sunt structurate la fel.